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Soma de produtos consecutivos

🧩 Exercício 1 Média

Calcule o valor do somatório

1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1).1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + n(n+1).
💡 Dica — clique para visualizar

Tente relacionar k(k+1)k(k+1) com a diferença entre dois produtos consecutivos envolvendo três fatores.

Ideia principal​

Queremos calcular

Sn=1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1).S_n= 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + n(n+1).

Poderíamos escrever

k(k+1)=k2+kk(k+1)=k^2+k

e utilizar as fórmulas dos somatórios de k2k^2 e kk.

Mas existe uma solução mais interessante.

Vamos procurar uma expressão que transforme k(k+1)k(k+1) em uma diferença de termos consecutivos, produzindo uma soma telescópica.

Passo 1 — Construindo a identidade​

Considere:

k(k+1)(k+2).k(k+1)(k+2).

Agora observe a diferença:

k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1).k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1).

Colocando k(k+1)k(k+1) em evidência:

k(k+1)[(k+2)−(k−1)].k(k+1)\left[(k+2)-(k-1)\right].

Como:

(k+2)−(k−1)=3,(k+2)-(k-1)=3,

temos:

k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1)=3k(k+1).k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) = 3k(k+1).

Portanto:

k(k+1)=k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1)3\boxed{ k(k+1) = \frac{ k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) }{3} }

Essa é a identidade que fará a soma telescopar.

Passo 2 — Aplicando à soma​

Substituindo cada termo:

Sn=13[1⋅2⋅3−0⋅1⋅2+2⋅3⋅4−1⋅2⋅3+3⋅4⋅5−2⋅3⋅4+⋯+n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)].\begin{aligned} S_n = \frac13\Big[ & 1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2 \\ &+ 2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3 \\ &+ 3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4 \\ &+\cdots\\ &+ n(n+1)(n+2) -(n-1)n(n+1) \Big]. \end{aligned}

Passo 3 — O cancelamento​

Agora observe o que acontece:

−1⋅2⋅3-1\cdot2\cdot3

cancela com

+1⋅2⋅3.+1\cdot2\cdot3.

Da mesma forma:

−2⋅3⋅4-2\cdot3\cdot4

cancela com

+2⋅3⋅4.+2\cdot3\cdot4.

E assim sucessivamente.

Todos os termos intermediários desaparecem.

Como

0⋅1⋅2=0,0\cdot1\cdot2=0,

resta apenas:

Sn=13n(n+1)(n+2).S_n = \frac13 n(n+1)(n+2).

Portanto:

Sn=n(n+1)(n+2)3\boxed{ S_n= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} }

Resultado​

Assim,

1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3\boxed{ 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} }

Verificação​

Podemos testar para um valor pequeno, por exemplo n=3n=3.

Pela soma:

1⋅2+2⋅3+3⋅4=2+6+12=20.1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4 = 2+6+12 = 20.

Pela fórmula:

3⋅4⋅53=20.\frac{3\cdot4\cdot5}{3} = 20.

Portanto, a fórmula funciona.

Insight​

Essa questão mostra uma técnica muito importante: criar uma diferença telescópica adequada ao termo que queremos somar.

Partimos de:

k(k+1)k(k+1)

e percebemos que:

k(k+1)=k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1)3\boxed{ k(k+1) = \frac{ k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) }{3} }

Quando somamos essas diferenças, os termos intermediários se cancelam.

Essa estratégia é especialmente poderosa porque evita utilizar diretamente fórmulas prontas.

Sacada: quando o termo do somatório é um produto de fatores consecutivos, tente aumentar o produto em um fator e procurar uma diferença entre expressões consecutivas. Isso pode transformar a soma em uma telescópica.