Questões diversas

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere a expressão

$$S = \frac{1}{a^{-2007}+1} + \frac{1}{a^{-2006}+1} + \cdots + \frac{1}{a^{-1}+1} + \frac{1}{a^0+1} + \frac{1}{a^1+1} + \cdots + \frac{1}{a^{2006}+1} + \frac{1}{a^{2007}+1},$$

com $a\neq 0$.

O valor de $S$ é:

💡 Dica — clique para visualizar

antes de começar a fazer contas, procure uma simetria

A expressão possui muitos termos, mas não precisamos calcular cada um deles.

A ideia é observar a simetria dos expoentes.

Para qualquer $k>0$, considere:

$$\frac{1}{a^{-k}+1} + \frac{1}{a^k+1}.$$

Como

$$a^{-k}=\frac{1}{a^k},$$

temos:

$$\frac{1}{\frac{1}{a^k}+1} + \frac{1}{a^k+1}.$$

O primeiro termo pode ser simplificado:

$$\frac{1}{\frac{1+a^k}{a^k}} = \frac{a^k}{1+a^k}.$$

Logo,

$$\frac{a^k}{1+a^k} + \frac{1}{1+a^k} = \frac{a^k+1}{1+a^k} = 1.$$

Portanto,

$$\boxed{ \frac{1}{a^{-k}+1} + \frac{1}{a^k+1} =1 }$$

para cada $k=1,2,\ldots,2007$.

Pareando os termos

Os expoentes podem ser agrupados em pares:

$$(-2007,2007),$$$$(-2006,2006),$$$$\vdots$$$$(-1,1).$$

Existem $2007$ pares.

Cada par vale $1$, portanto:

$$2007\cdot1=2007.$$

Ainda resta o termo correspondente ao expoente zero:

$$\frac{1}{a^0+1}.$$

Como

$$a^0=1,$$

temos:

$$\frac{1}{1+1} = \frac12.$$

Assim,

$$S=2007+\frac12.$$

Portanto,

$$\boxed{S=2007\frac12}$$

ou

$$\boxed{S=\frac{4015}{2}}.$$

Sacada da questão

O segredo não está em calcular os termos. Está em perceber a simetria dos expoentes.

Sempre que aparecerem simultaneamente termos envolvendo

$$a^{-k} \quad\text{e}\quad a^k,$$

vale a pena tentar agrupá-los.

Neste problema:

$$\boxed{ \frac{1}{a^{-k}+1} + \frac{1}{a^k+1} =1 }$$

Assim, centenas de termos são transformados em uma simples contagem.

🧩 Exercício 2 Fácil

O resto da divisão da soma dos algarismos de

$$100^{19}-10019$$

por $83$ é igual a:

Ideia principal

A expressão parece envolver um número gigantesco:

$$100^{19}$$

Mas não precisamos calcular esse número diretamente.

A primeira sacada é transformar a potência:

$$100^{19}=(10^2)^{19}=10^{38}$$

Assim, o problema passa a ser analisar:

$$10^{38}-10019$$

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Passo 1 — Entendendo $10^{38}$

O número $10^{38}$ é formado por:

• um $1$;
• seguido de $38$ zeros.

Portanto:

$$10^{38}=1000\ldots000$$

Ao subtrair $10019$, obtemos:

$$10^{38}-10019 = 99999999999999999999999999999999989981$$

Não precisamos memorizar esse número. O importante é observar a estrutura dos algarismos.

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Passo 2 — Soma dos algarismos

O número resultante possui 33 algarismos iguais a (9), seguidos dos algarismos:

$$8,\ 9,\ 9,\ 8,\ 1$$

Portanto, a soma dos algarismos é:

$$33\cdot9+8+9+9+8+1$$

Calculando:

$$33\cdot9=297$$

e:

$$8+9+9+8+1=35$$

Logo:

$$297+35=332$$

Assim, a soma dos algarismos é:

$$\boxed{332}$$

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Passo 3 — Dividindo por $83$

Agora precisamos encontrar o resto da divisão de $332$ por $83$.

Observe que:

$$83\cdot4=332$$

Portanto:

$$332=83\cdot4+0$$

Logo, o resto é:

$$\boxed{0}$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a) }0}$$

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Insight

A questão parece exigir o cálculo de uma potência enorme, mas isso é uma distração.

A verdadeira sacada é perceber que:

$$100^{19}=10^{38}$$

e que a estrutura decimal de uma potência de (10) permite determinar rapidamente os algarismos depois da subtração.

A questão testa principalmente a capacidade de enxergar a estrutura do número antes de começar a fazer contas.

Nem sempre precisamos calcular um número gigantesco para descobrir uma propriedade dele.

🧩 Exercício 3 Médio

Prove que, se

$$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+d)^2 = 4(ab+bc+cd),$$

então

$$a=b=c=d.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Desenvolva os quadrados e passe todos os termos para um mesmo lado.

Tente reconhecer uma soma de quadrados envolvendo as diferenças

$$a-b,\qquad b-c,\qquad c-d.$$

Ideia principal

A estratégia é desenvolver os quadrados da hipótese e reorganizar os termos.

A expressão resultante possui uma estrutura muito importante:

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2.$$

Como estamos trabalhando com números reais, uma soma de quadrados só pode ser zero quando todos os quadrados forem zero.

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Passo 1 — Desenvolvendo os quadrados

Partimos da hipótese:

$$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+d)^2 = 4(ab+bc+cd).$$

Desenvolvendo:

$$a^2+2ab+b^2 + b^2+2bc+c^2 + c^2+2cd+d^2 = 4ab+4bc+4cd.$$

Agrupando os termos:

$$a^2+2b^2+2c^2+d^2 + 2ab+2bc+2cd = 4ab+4bc+4cd.$$

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Passo 2 — Reorganizando

Passando os termos do lado direito para o lado esquerdo:

$$a^2+2b^2+2c^2+d^2 -2ab-2bc-2cd =0.$$

Agora precisamos reconhecer uma soma de quadrados.

Observe que:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$$$(b-c)^2=b^2-2bc+c^2,$$

e

$$(c-d)^2=c^2-2cd+d^2.$$

Somando essas três expressões:

$$\begin{aligned} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2 ={}& a^2-2ab+b^2 \\ &+b^2-2bc+c^2 \\ &+c^2-2cd+d^2. \end{aligned}$$

Portanto:

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2 = a^2+2b^2+2c^2+d^2 -2ab-2bc-2cd.$$

Pela hipótese, concluímos que:

$$\boxed{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2=0 }.$$

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Passo 3 — Analisando a soma de quadrados

Como $a,b,c,d$ são reais, temos:

$$(a-b)^2\geq0,$$$$(b-c)^2\geq0,$$

e

$$(c-d)^2\geq0.$$

A soma de três números não negativos é igual a zero somente quando cada um deles é zero.

Logo:

$$(a-b)^2=0,$$$$(b-c)^2=0,$$

e

$$(c-d)^2=0.$$

Portanto:

$$a-b=0,$$$$b-c=0,$$

e

$$c-d=0.$$

Assim:

$$a=b, \qquad b=c, \qquad c=d.$$

Consequentemente,

$$\boxed{a=b=c=d}.$$

---

Resultado

A hipótese implica:

$$\boxed{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2=0 }.$$

Como todos os termos são quadrados de números reais, cada um deve ser igual a zero. Portanto:

$$\boxed{a=b=c=d}.$$

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Insight

A grande sacada da questão é reconhecer uma soma de quadrados escondida depois de desenvolver e reorganizar a expressão.

O resultado central é:

$$\boxed{ a^2+2b^2+2c^2+d^2 -2ab-2bc-2cd = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2 }.$$

Quando uma questão conduz a uma igualdade da forma

$$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=0,$$

com $x_i\in\mathbb R$, podemos concluir imediatamente que:

$$x_1=x_2=\cdots=x_n=0.$$

Sacada: ao encontrar uma expressão quadrática complicada, procure reorganizá-la como uma soma de quadrados. Muitas demonstrações de igualdade são resolvidas exatamente dessa maneira.

🧩 Exercício 4 Difícil

Prove que, se $x$, $y$ e $z$ são números reais não nulos tais que

$$\frac1x+\frac1y+\frac1z = \frac1{x+y+z},$$

então vale que

$$\frac1{x^{2019}} + \frac1{y^{2019}} + \frac1{z^{2019}} = \frac1{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Tente passar um dos termos do lado esquerdo para o lado direito.

Depois de colocar as frações em um mesmo denominador, procure uma fatoração.

O fato de $2019$ ser ímpar será importante no final.

Ideia principal

A hipótese

$$\frac1x+\frac1y+\frac1z = \frac1{x+y+z}$$

parece inicialmente difícil de relacionar com a conclusão.

A ideia é manipular a igualdade até descobrir uma informação mais simples sobre $x$, $y$ e $z$.

Vamos mostrar que necessariamente dois deles são opostos.

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Passo 1 — Isolando um dos termos

Partimos de:

$$\frac1x+\frac1y+\frac1z = \frac1{x+y+z}.$$

Vamos passar o termo $\frac1z$ para o lado direito:

$$\frac1x+\frac1y = \frac1{x+y+z}-\frac1z.$$

Agora calculamos cada lado.

No lado esquerdo:

$$\frac1x+\frac1y = \frac{x+y}{xy}.$$

No lado direito:

$$\frac1{x+y+z}-\frac1z = \frac{z-(x+y+z)} {z(x+y+z)}.$$

Simplificando o numerador:

$$z-(x+y+z)=-(x+y).$$

Portanto:

$$\frac{x+y}{xy} = -\frac{x+y}{z(x+y+z)}.$$

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Passo 2 — Colocando tudo em um lado

Passando tudo para o lado esquerdo:

$$\frac{x+y}{xy} + \frac{x+y}{z(x+y+z)} =0.$$

Colocando $(x+y)$ em evidência:

$$(x+y) \left( \frac1{xy} + \frac1{z(x+y+z)} \right) =0.$$

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Passo 3 — Colocando as frações em um mesmo denominador

Somando as duas frações:

$$(x+y) \frac{ z(x+y+z)+xy }{ xyz(x+y+z) } =0.$$

Vamos analisar o numerador:

$$z(x+y+z)+xy.$$

Distribuindo $z$:

$$xz+yz+z^2+xy.$$

Reorganizando:

$$xy+xz+yz+z^2.$$

Agora aparece uma fatoração:

$$xy+xz+yz+z^2 = x(y+z)+z(y+z).$$

Colocando $(y+z)$ em evidência:

$$=(x+z)(y+z).$$

Assim, chegamos a:

$$\frac{(x+y)(x+z)(y+z)} {xyz(x+y+z)} =0.$$

Como $x$, $y$ e $z$ são não nulos e, pela própria hipótese, $x+y+z\neq0$, o denominador é diferente de zero.

Logo:

$$\boxed{ (x+y)(x+z)(y+z)=0 }.$$

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Passo 4 — O que isso significa?

Se um produto é zero, pelo menos um dos seus fatores deve ser zero.

Portanto, temos pelo menos uma das possibilidades:

$$x+y=0,$$

ou

$$x+z=0,$$

ou

$$y+z=0.$$

Em outras palavras, dois dos números são opostos.

Por exemplo, podemos ter:

$$y=-x.$$

Os outros casos serão completamente análogos.

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Passo 5 — Usando o fato de $2019$ ser ímpar

Suponha que:

$$y=-x.$$

Como $2019$ é ímpar:

$$y^{2019}=(-x)^{2019}=-x^{2019}.$$

Portanto:

$$\frac1{x^{2019}} + \frac1{y^{2019}} = \frac1{x^{2019}} - \frac1{x^{2019}} =0.$$

Assim:

$$\frac1{x^{2019}} + \frac1{y^{2019}} + \frac1{z^{2019}} = \frac1{z^{2019}}.$$

Por outro lado:

$$x^{2019}+y^{2019}+z^{2019} = x^{2019}-x^{2019}+z^{2019}.$$

Logo:

$$x^{2019}+y^{2019}+z^{2019} = z^{2019}.$$

Consequentemente:

$$\frac1{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}} = \frac1{z^{2019}}.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac1{x^{2019}} + \frac1{y^{2019}} + \frac1{z^{2019}} = \frac1{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}} }.$$

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Resultado

A hipótese inicial força:

$$\boxed{ (x+y)(x+z)(y+z)=0 }.$$

Logo, dois dos números $x$, $y$ e $z$ são opostos.

Como $2019$ é ímpar, esses dois termos continuam sendo opostos quando elevados à potência $2019$.

Assim,

$$\boxed{ \frac1{x^{2019}} + \frac1{y^{2019}} + \frac1{z^{2019}} = \frac1{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}} }.$$

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Insight

A parte mais interessante da questão é que a fatoração não precisa ser conhecida de antemão.

Ao passar $\frac1z$ para o outro lado, obtemos:

$$\frac{x+y}{xy} = -\frac{x+y}{z(x+y+z)}.$$

O fator $(x+y)$ aparece naturalmente.

Depois, ao juntar as frações, surge:

$$z(x+y+z)+xy.$$

Desenvolvendo:

$$xz+yz+z^2+xy.$$

E somente então percebemos a fatoração:

$$xy+xz+yz+z^2 = (x+z)(y+z).$$

Assim, toda a hipótese se transforma em:

$$\boxed{ (x+y)(x+z)(y+z)=0 }.$$

Sacada: em problemas de demonstração, não tente necessariamente descobrir a fatoração antes de começar. Muitas vezes, a melhor estratégia é manipular a equação e deixar a própria estrutura algébrica revelar a fatoração.

🧩 Exercício 5 Médio

O número

$$\frac{ (10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324) }{ (4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324) }$$

é igual a:

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Observe que:

$$324=4\cdot3^4.$$

Portanto, podemos aplicar a fatoração de Sophie Germain:

$$a^4+4b^4 = (a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).$$

Use essa fatoração em cada termo e procure identificar o cancelamento entre o numerador e o denominador.

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Ideia principal

Temos produtos de expressões da forma:

$$x^4+324.$$

Como

$$324=4\cdot3^4,$$

podemos escrever:

$$x^4+324=x^4+4\cdot3^4.$$

Agora aplicamos a fatoração de Sophie Germain:

$$a^4+4b^4 = (a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2).$$

Tomando $a=x$ e $b=3$:

$$\boxed{x^4+324=(x^2-6x+18)(x^2+6x+18)}.$$

---

Passo 1 — Fatorando os termos

Para $x=10$:

$$10^4+324 = (10^2-6\cdot10+18)(10^2+6\cdot10+18)$$$$=58\cdot178.$$

Para $x=22$:

$$22^4+324=370\cdot634.$$

Para $x=34$:

$$34^4+324=970\cdot1378.$$

Para $x=46$:

$$46^4+324=1858\cdot2410.$$

Para $x=58$:

$$58^4+324=3034\cdot3730.$$

Assim, o numerador é:

$$58\cdot178\cdot370\cdot634\cdot970 \cdot1378\cdot1858\cdot2410\cdot3034\cdot3730.$$

---

Passo 2 — Fatorando o denominador

Agora fazemos o mesmo para os termos do denominador.

Para $x=4$:

$$4^4+324=10\cdot58.$$

Para $x=16$:

$$16^4+324=178\cdot370.$$

Para $x=28$:

$$28^4+324=634\cdot970.$$

Para $x=40$:

$$40^4+324=1378\cdot1858.$$

Para $x=52$:

$$52^4+324=2410\cdot3034.$$

Portanto, o denominador é:

$$10\cdot58\cdot178\cdot370\cdot634\cdot970 \cdot1378\cdot1858\cdot2410\cdot3034.$$

---

Passo 3 — Fazendo os cancelamentos

Substituindo tudo na expressão original:

$$\frac{ 58\cdot178\cdot370\cdot634\cdot970\cdot1378 \cdot1858\cdot2410\cdot3034\cdot3730 }{ 10\cdot58\cdot178\cdot370\cdot634\cdot970\cdot1378 \cdot1858\cdot2410\cdot3034 }.$$

Observe que todos os fatores comuns se cancelam.

Restam apenas:

$$\frac{3730}{10}.$$

Portanto:

$$\boxed{373}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }373}.$$