Semirretas

Uma semirreta é uma parte de uma reta que possui um ponto de origem e se estende infinitamente em apenas um sentido.

Considere os pontos $A$ e $B$:

A •---------------------------→

A semirreta começa no ponto $A$ e passa pelo ponto $B$, continuando infinitamente na direção de $B$.

Ela é representada por:

$$\overrightarrow{AB}$$

O ponto $A$ é chamado de origem da semirreta.

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📌 Reta, segmento e semirreta

É importante diferenciar esses três conceitos.

Reta

A reta é infinita nos dois sentidos:

←-----------------------------→

Sua representação pode ser:

$$\overleftrightarrow{AB}$$

Semirreta

A semirreta possui uma origem e é infinita em apenas um sentido:

A •---------------------------→

Sua representação é:

$$\overrightarrow{AB}$$

Segmento

O segmento possui dois extremos:

A •---------------------------• B

Sua representação é:

$$\overline{AB}$$

Podemos resumir:

Figura	Característica
Reta	Infinita nos dois sentidos
Semirreta	Possui uma origem e é infinita em um sentido
Segmento	Possui dois extremos

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Elementos de uma semirreta

Uma semirreta possui dois elementos importantes:

• origem;
• sentido.

Considere:

A •---------------------------→ B

O ponto $A$ é a origem.

A semirreta parte de $A$ e passa por $B$.

Por isso, podemos representá-la por:

$$\overrightarrow{AB}$$

A primeira letra indica a origem.

A segunda letra indica um ponto que determina o sentido da semirreta.

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Representação de uma semirreta

Considere os pontos $A$ e $B$:

A •---------------------------→
             B

A semirreta que começa em $A$ e passa por $B$ é:

$$\overrightarrow{AB}$$

Observe a ordem das letras.

Na expressão:

$$\overrightarrow{AB}$$

o ponto $A$ é a origem.

O ponto $B$ indica a direção.

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A ordem das letras é importante

Considere os pontos $A$ e $B$ sobre uma mesma reta:

A •---------------------------• B

Podemos formar duas semirretas diferentes:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{BA}$$

A primeira começa em $A$ e segue em direção a $B$.

A segunda começa em $B$ e segue em direção a $A$.

Representando:

A •---------------------------• B
  →                           ←

Portanto:

$$\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}$$

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Semirretas opostas

Duas semirretas são chamadas de opostas quando:

1. possuem a mesma origem;
2. estão sobre a mesma reta;
3. possuem sentidos contrários.

Considere:

←----------------•----------------→
                 A

As semirretas:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{AC}$$

podem ser opostas quando $B$, $A$ e $C$ são colineares e $A$ está entre $B$ e $C$.

Por exemplo:

B •----------------• A----------------• C
  ←-----------------                 -----------------→

Nesse caso:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{AC}$$

são semirretas opostas.

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Semirretas com a mesma origem

Duas semirretas podem possuir a mesma origem sem serem opostas.

Por exemplo:

             B
            •
           /
          /
A •-------•----------------→ C

As semirretas:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{AC}$$

possuem a mesma origem $A$, mas seguem em direções diferentes.

Portanto, não são semirretas opostas.

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Semirretas coincidentes

Duas semirretas são coincidentes quando possuem a mesma origem e o mesmo sentido.

Considere três pontos:

A •---------• B----------------→
             C

Se $B$ e $C$ estão na mesma direção a partir de $A$, então:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{AC}$$

representam a mesma semirreta.

Nesse caso:

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$$

desde que $B$ e $C$ estejam na mesma direção a partir de $A$.

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Semirreta e ângulo

As semirretas possuem uma função muito importante na Geometria: formar ângulos.

Um ângulo é formado por duas semirretas que possuem a mesma origem.

Considere:

        B
       /
      /
     /
    A •----------------→ C

As semirretas:

$$\overrightarrow{AB}$$

e

$$\overrightarrow{AC}$$

possuem a mesma origem $A$.

Juntas, elas formam um ângulo.

Podemos representar esse ângulo por:

$$\angle BAC$$

O ponto $A$, que representa a origem das duas semirretas, aparece no meio da representação do ângulo.

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Origem de uma semirreta

Para identificar corretamente uma semirreta, devemos observar a primeira letra.

Por exemplo:

$$\overrightarrow{AB}$$

A origem é $A$.

Já em:

$$\overrightarrow{BA}$$

a origem é $B$.

Portanto:

Semirreta	Origem
$\overrightarrow{AB}$	$A$
$\overrightarrow{BA}$	$B$
$\overrightarrow{CD}$	$C$
$\overrightarrow{DC}$	$D$

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Exemplo 1

Considere:

A •---------------------------• B----------------→

Qual é a origem da semirreta $\overrightarrow{AB}$?

Ver solução

Resolução

Na representação:

$$\overrightarrow{AB}$$

a primeira letra indica a origem.

Portanto:

$$\boxed{A}$$

é a origem da semirreta.

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Exemplo 2

Considere os pontos:

A •---------------------------• B

Qual é a diferença entre $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$?

Ver solução

Resolução

A semirreta $\overrightarrow{AB}$ começa em $A$ e segue em direção a $B$.

A semirreta $\overrightarrow{BA}$ começa em $B$ e segue em direção a $A$.

Portanto, possuem origens e sentidos diferentes.

$$\boxed{\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}}$$

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Exemplo 3

Considere três pontos colineares:

B •----------------• A----------------• C

As semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ são opostas?

Ver solução

Resolução

As duas semirretas possuem a mesma origem $A$.

Além disso, estão sobre a mesma reta e possuem sentidos contrários.

Portanto, são semirretas opostas.

$$\boxed{\overrightarrow{AB}\text{ e }\overrightarrow{AC}\text{ são opostas}}$$

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🧠 Resumo

• Semirreta: parte de uma reta que possui uma origem e se estende infinitamente em um único sentido.
• A semirreta $\overrightarrow{AB}$ possui origem em $A$.
• A primeira letra da representação indica a origem.
• A segunda letra indica um ponto que determina o sentido.
• $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$ geralmente representam semirretas diferentes.
• Semirretas opostas possuem a mesma origem, pertencem à mesma reta e possuem sentidos contrários.
• Duas semirretas com a mesma origem podem formar um ângulo.
• Uma semirreta possui infinitos pontos.

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Na representação $\overrightarrow{AB}$, qual ponto representa a origem da semirreta?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Qual das alternativas representa uma semirreta com origem no ponto $A$?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Qual é a principal característica de uma semirreta?

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🧩 Exercício 4 Médio

Considere três pontos colineares na ordem $B$, $A$ e $C$. Quais semirretas possuem origem em $A$ e são opostas?

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🧩 Exercício 5 Médio

Duas semirretas possuem a mesma origem, mas seguem em sentidos diferentes sobre a mesma reta. Como são chamadas?

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🧩 Exercício 6 Médio

Considere as semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$. Qual condição é necessária para que elas sejam semirretas opostas?

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🧩 Exercício 7 Médio

Duas semirretas possuem a mesma origem $A$ e passam pelos pontos $B$ e $C$, respectivamente. Se $B$ e $C$ estão na mesma direção a partir de $A$, como são classificadas essas semirretas?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos ângulos, que são formados por duas semirretas com a mesma origem.