Posições Relativas entre Pontos e Retas

Na Geometria, é importante saber descrever a posição de um ponto em relação a uma reta.

Um ponto pode:

• pertencer a uma reta;
• não pertencer a uma reta.

Além disso, dois ou mais pontos podem estar alinhados sobre uma mesma reta.

Essas relações são fundamentais para o estudo de segmentos, ângulos, polígonos e outras figuras geométricas.

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📍 Ponto pertencente a uma reta

Considere a figura:

A •----------------------------- r

O ponto $A$ está sobre a reta $r$.

Nesse caso, dizemos que $A$ pertence à reta $r$.

Utilizamos o símbolo:

$$A \in r$$

Lemos:

"A pertence à reta r."

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Ponto que não pertence a uma reta

Agora considere:

        A •

----------------------------- r

O ponto $A$ não está sobre a reta $r$.

Nesse caso:

$$A \notin r$$

Lemos:

"A não pertence à reta r."

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Pontos colineares

Dois ou mais pontos são chamados de colineares quando pertencem à mesma reta.

Considere:

A •---------• B---------• C

Os pontos $A$, $B$ e $C$ pertencem à mesma reta.

Portanto, são colineares.

Podemos escrever:

$$A,B,C \in r$$

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Pontos não colineares

Quando três ou mais pontos não pertencem à mesma reta, são chamados de não colineares.

Considere:

A •


        • B


   • C

Não existe uma única reta que passe simultaneamente pelos três pontos.

Portanto, os pontos $A$, $B$ e $C$ são não colineares.

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Dois pontos e uma reta

Existe uma propriedade fundamental da Geometria:

Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Considere:

A •---------------------------• B

Existe uma única reta que passa por $A$ e $B$.

Podemos representá-la por:

$$\overleftrightarrow{AB}$$

ou simplesmente por uma letra, como:

$$r$$

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Três pontos

Quando temos três pontos, existem duas possibilidades principais.

Caso 1 — Pontos colineares

A •---------• B---------• C

Os três pontos pertencem à mesma reta.

São, portanto, colineares.

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Caso 2 — Pontos não colineares

A •


        • B


   • C

Os três pontos não pertencem à mesma reta.

São, portanto, não colineares.

Esse caso é especialmente importante porque:

Três pontos não colineares determinam um único plano.

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Posição de um ponto em relação a uma reta

Podemos resumir as duas possibilidades:

Situação	Símbolo	Significado
Ponto pertence à reta	$A \in r$	A está sobre a reta
Ponto não pertence à reta	$A \notin r$	A não está sobre a reta

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Pontos alinhados

A expressão pontos alinhados é frequentemente utilizada como sinônimo de pontos colineares.

Por exemplo:

A •---------• B---------• C---------• D

Os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ estão alinhados.

Portanto:

$$A,B,C,D \in r$$

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Ponto entre dois pontos

Considere três pontos colineares:

A •---------• B---------• C

Nesse caso, dizemos que o ponto $B$ está entre $A$ e $C$.

Essa relação pode ser expressa pelo comprimento dos segmentos:

$$AC = AB + BC$$

Por exemplo, se:

$$AB = 5\text{ cm}$$

e:

$$BC = 7\text{ cm}$$

então:

$$AC = 5 + 7$$

Logo:

$$\boxed{AC = 12\text{ cm}}$$

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Ordem dos pontos em uma reta

Considere os pontos:

A •---------• B---------• C

Podemos dizer que:

• $A$ está antes de $B$;
• $B$ está entre $A$ e $C$;
• $C$ está depois de $B$.

Também podemos inverter a orientação da reta:

C •---------• B---------• A

A posição geométrica dos pontos não mudou.

O que mudou foi apenas a orientação utilizada para representar a reta.

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Distância entre dois pontos

Quando dois pontos pertencem a uma mesma reta, a distância entre eles corresponde ao comprimento do segmento que os une.

Considere:

A •---------------------------• B

A distância entre $A$ e $B$ pode ser representada por:

$$AB$$

Se:

$$AB = 10\text{ cm}$$

então a distância entre os pontos $A$ e $B$ é de $10$ cm.

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Posição relativa entre uma reta e pontos

Podemos analisar uma reta considerando quantos pontos conhecidos pertencem a ela.

Nenhum dos pontos pertence à reta

A •        B •

----------------------------- r

Nesse caso:

$$A \notin r$$

e:

$$B \notin r$$

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Um dos pontos pertence à reta

A •--------------------------- r

        B •

Nesse caso:

$$A \in r$$

e:

$$B \notin r$$

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Dois pontos pertencem à reta

A •---------• B---------------- r

Nesse caso:

$$A,B \in r$$

Como dois pontos distintos determinam uma única reta, a reta que passa por $A$ e $B$ pode ser representada por:

$$\overleftrightarrow{AB}$$

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Exemplo 1

Considere:

A •----------------------------- r

Qual relação podemos estabelecer entre $A$ e $r$?

Ver solução

Resolução

O ponto $A$ está sobre a reta $r$.

Portanto:

$$\boxed{A \in r}$$

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Exemplo 2

Considere:

A •---------• B---------• C

Qual é a relação entre os pontos $A$, $B$ e $C$?

Ver solução

Resolução

Os três pontos pertencem à mesma reta.

Portanto, são colineares.

$$\boxed{A,B,C \text{ são colineares}}$$

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Exemplo 3

Considere três pontos $A$, $B$ e $C$ tais que $B$ está entre $A$ e $C$.

Sabendo que:

$$AB = 8\text{ cm}$$

e:

$$BC = 11\text{ cm}$$

determine $AC$.

Ver solução

Resolução

Como $B$ está entre $A$ e $C$:

$$AC = AB + BC$$

Substituindo:

$$AC = 8 + 11$$

Portanto:

$$\boxed{AC = 19\text{ cm}}$$

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Exemplo 4

Três pontos $A$, $B$ e $C$ não pertencem à mesma reta.

O que podemos afirmar sobre esses pontos?

Ver solução

Resolução

Se os três pontos não pertencem à mesma reta, eles são não colineares.

Além disso, três pontos não colineares determinam um único plano.

Portanto:

$$\boxed{\text{A, B e C são não colineares}}$$

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🧠 Resumo

• Um ponto pode pertencer ou não pertencer a uma reta.
• $A \in r$ significa que $A$ pertence à reta $r$.
• $A \notin r$ significa que $A$ não pertence à reta $r$.
• Pontos que pertencem à mesma reta são colineares.
• Pontos que não pertencem à mesma reta são não colineares.
• Dois pontos distintos determinam uma única reta.
• Pontos alinhados são pontos colineares.
• Se $B$ está entre $A$ e $C$, então:

$$AC = AB + BC$$

• Três pontos não colineares determinam um único plano.

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Considere um ponto $A$ localizado sobre a reta $r$. Qual símbolo representa corretamente essa relação?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere três pontos $A$, $B$ e $C$ pertencentes à mesma reta. Como esses pontos são classificados?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Qual afirmação é verdadeira sobre dois pontos distintos?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Considere três pontos $A$, $B$ e $C$ que não pertencem à mesma reta. Como esses pontos são classificados?

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🧩 Exercício 5 Médio

Considere três pontos colineares $A$, $B$ e $C$, com $B$ entre $A$ e $C$. Se $AB = 9$ cm e $BC = 13$ cm, qual é o comprimento de $AC$?

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🧩 Exercício 6 Médio

Considere os pontos $A$, $B$ e $C$. Sabendo que $B$ está entre $A$ e $C$, $AC = 35$ cm e $AB = 18$ cm, determine $BC$.

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🧩 Exercício 7 Médio

Qual afirmação descreve corretamente três pontos não colineares?

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🧩 Exercício 8 Médio

Se $A \in r$ e $B \notin r$, qual afirmação está correta?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos as retas paralelas e concorrentes.