Trigonometria básica

🧩 Exercício 1 Médio

Calcule o valor da expressão:

$$I= \frac{ \operatorname{sen}^2 1^\circ\operatorname{sen}^2 2^\circ \operatorname{sen}^2 3^\circ\cdots \operatorname{sen}^2 89^\circ\operatorname{sen}^2 90^\circ }{ \cos^2 0^\circ\cos^2 1^\circ\cos^2 2^\circ\cdots \cos^2 88^\circ\cos^2 89^\circ }.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Utilize a relação entre seno e cosseno de ângulos complementares:

$$\operatorname{sen}\theta = \cos(90^\circ-\theta).$$

Observe também que:

$$\operatorname{sen}90^\circ=1$$

e

$$\cos0^\circ=1.$$

Passo 1 — Relacionando seno e cosseno

Utilizamos a identidade:

$$\operatorname{sen}\theta = \cos(90^\circ-\theta).$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$\operatorname{sen}^2\theta = \cos^2(90^\circ-\theta).$$

Assim:

$$\operatorname{sen}^2 1^\circ = \cos^2 89^\circ,$$$$\operatorname{sen}^2 2^\circ = \cos^2 88^\circ,$$$$\operatorname{sen}^2 3^\circ = \cos^2 87^\circ,$$

e assim sucessivamente.

No extremo:

$$\operatorname{sen}^2 89^\circ = \cos^2 1^\circ$$

e

$$\operatorname{sen}^2 90^\circ = \cos^2 0^\circ.$$

---

Passo 2 — Reescrevendo o numerador

Portanto, o numerador pode ser escrito como:

$$\begin{aligned} &\operatorname{sen}^2 1^\circ \operatorname{sen}^2 2^\circ \operatorname{sen}^2 3^\circ \cdots \operatorname{sen}^2 89^\circ \operatorname{sen}^2 90^\circ \\[4pt] &= \cos^2 89^\circ \cos^2 88^\circ \cos^2 87^\circ \cdots \cos^2 1^\circ \cos^2 0^\circ. \end{aligned}$$

Perceba que aparecem exatamente os mesmos fatores do denominador, apenas em ordem inversa.

---

Passo 3 — Comparando numerador e denominador

O denominador é:

$$\cos^2 0^\circ \cos^2 1^\circ \cos^2 2^\circ \cdots \cos^2 88^\circ \cos^2 89^\circ.$$

Como a multiplicação é comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto.

Logo, numerador e denominador são iguais.

Portanto:

$$I= \frac{ \cos^2 89^\circ \cos^2 88^\circ \cdots \cos^2 0^\circ }{ \cos^2 0^\circ \cos^2 1^\circ \cdots \cos^2 89^\circ }.$$

Assim:

$$\boxed{I=1}.$$

🧩 Exercício 2 Fácil

Uma roda de bicicleta tem $40\,\text{cm}$ de diâmetro. Quantas voltas completas ela dá em $1\,\text{km}$?

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Primeiro, determine o comprimento da circunferência da roda:

$$C=2\pi r.$$

Depois, transforme $1\,\text{km}$ para centímetros e divida a distância total pelo comprimento de uma volta.

Passo 1 — Determinando o raio

O diâmetro da roda é:

$$d=40\,\text{cm}.$$

Como o raio é metade do diâmetro:

$$r=\frac{40}{2}=20\,\text{cm}.$$

---

Passo 2 — Calculando o comprimento da roda

O comprimento da circunferência é:

$$C=2\pi r.$$

Substituindo $r=20$:

$$C=2\pi(20)=40\pi\,\text{cm}.$$

Portanto, a cada volta completa, a bicicleta percorre:

$$\boxed{40\pi\,\text{cm}}.$$

---

Passo 3 — Convertendo $1\,\text{km}$ para centímetros

Sabemos que:

$$1\,\text{km}=1000\,\text{m}$$

e

$$1\,\text{m}=100\,\text{cm}.$$

Logo:

$$1\,\text{km}=100000\,\text{cm}.$$

---

Passo 4 — Calculando o número de voltas

O número de voltas é:

$$N=\frac{\text{distância total}}{\text{distância percorrida em uma volta}}.$$

Assim:

$$N=\frac{100000}{40\pi}.$$

Simplificando:

$$N=\frac{2500}{\pi}.$$

Usando $\pi\approx3,14$:

$$N\approx\frac{2500}{3,14} \approx796,18.$$

Como a pergunta pede voltas completas, devemos considerar apenas a parte inteira:

$$\boxed{796}.$$

🧩 Exercício 3 Fácil

Um poste de luz de $5$ metros de altura produz uma sombra no chão de $8$ metros. Qual a distância da ponta do poste à ponta da sombra neste chão?

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Imagine a situação como um triângulo retângulo:

• a altura do poste corresponde a um cateto;
• o comprimento da sombra corresponde ao outro cateto;
• a distância entre a ponta do poste e a ponta da sombra corresponde à hipotenusa.

Use o Teorema de Pitágoras:

$$h^2=a^2+b^2.$$

Passo 1 — Identificando os lados

A altura do poste é:

$$5\,\text{m}.$$

O comprimento da sombra é:

$$8\,\text{m}.$$

A distância que queremos encontrar é a hipotenusa $d$ do triângulo formado pelo poste e pela sombra.

Assim:

$$d^2=5^2+8^2.$$

---

Passo 2 — Aplicando o Teorema de Pitágoras

Calculando:

$$d^2=25+64.$$

Logo:

$$d^2=89.$$

Portanto:

$$\boxed{d=\sqrt{89}\,\text{m}}.$$

Resultado

A distância da ponta do poste até a ponta da sombra é:

$$\boxed{\sqrt{89}\,\text{m}}.$$

🧩 Exercício 4 Fácil

Determine:

a) $\operatorname{sen}(2000\pi)$

b) $\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right)$

c) $\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{4}\right)$

d) $\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{6}\right)$

e) $\cos\left(\frac{37\pi}{6}\right)$

f) $\operatorname{tg}\left(\frac{55\pi}{3}\right)$

g) $\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{2}\right)$

💡 Dica — clique para visualizar

Para determinar os valores, reduza os ângulos utilizando a periodicidade das funções trigonométricas.

Lembre-se de que:

$$\operatorname{sen}(\theta+2k\pi)=\operatorname{sen}\theta$$$$\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta$$

e

$$\operatorname{tg}(\theta+k\pi)=\operatorname{tg}\theta.$$

Depois, identifique o ângulo correspondente no ciclo trigonométrico.

a) $\operatorname{sen}(2000\pi)$

Como:

$$2000\pi=1000\cdot2\pi,$$

temos:

$$\operatorname{sen}(2000\pi) = \operatorname{sen}(0) = \boxed{0}.$$

---

b) $\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right)$

Reduzindo o ângulo:

$$\frac{17\pi}{4} = \frac{16\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = 4\pi+\frac{\pi}{4}.$$

Como $4\pi$ corresponde a duas voltas completas:

$$\cos\left(\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

Sabemos que:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}.$$

---

c) $\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{4}\right)$

Como a tangente possui período $\pi$:

$$\frac{25\pi}{4} = 6\pi+\frac{\pi}{4}.$$

Logo:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{25\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

Como:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

temos:

$$\boxed{1}.$$

---

d) $\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{6}\right)$

Temos:

$$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = 4\pi+\frac{\pi}{6}.$$

Assim:

$$\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{6}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Como:

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,$$

segue que:

$$\boxed{\frac12}.$$

---

e) $\cos\left(\frac{37\pi}{6}\right)$

Reduzindo:

$$\frac{37\pi}{6} = \frac{36\pi}{6}+\frac{\pi}{6} = 6\pi+\frac{\pi}{6}.$$

Portanto:

$$\cos\left(\frac{37\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Como:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2},$$

temos:

$$\boxed{\frac{\sqrt3}{2}}.$$

---

f) $\operatorname{tg}\left(\frac{55\pi}{3}\right)$

Como o período da tangente é $\pi$:

$$\frac{55\pi}{3} = 18\pi+\frac{\pi}{3}.$$

Logo:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{55\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

Sabemos que:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3.$$

Portanto:

$$\boxed{\sqrt3}.$$

---

g) $\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{2}\right)$

Temos:

$$\frac{25\pi}{2} = \frac{24\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = 12\pi+\frac{\pi}{2}.$$

Como $12\pi$ corresponde a seis voltas completas:

$$\operatorname{sen}\left(\frac{25\pi}{2}\right) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right).$$

Assim:

$$\boxed{1}.$$

---

Resultado

Os valores são:

$$\boxed{ \begin{aligned} \text{a)}&\ 0\\ \text{b)}&\ \frac{\sqrt2}{2}\\ \text{c)}&\ 1\\ \text{d)}&\ \frac12\\ \text{e)}&\ \frac{\sqrt3}{2}\\ \text{f)}&\ \sqrt3\\ \text{g)}&\ 1 \end{aligned} }$$

🧩 Exercício 5 Fácil

Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em $50$ minutos?

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O ponteiro dos minutos dá uma volta completa, de $2\pi$ radianos, em $60$ minutos.

Use uma regra de três para descobrir quantos radianos ele percorre em $50$ minutos.

Passo 1 — Identificando a volta completa

Em $60$ minutos, o ponteiro dos minutos dá uma volta completa.

Uma volta completa corresponde a:

$$2\pi\text{ radianos}.$$

Queremos descobrir quantos radianos correspondem a $50$ minutos.

---

Passo 2 — Montando a proporção

Temos:

$$60\text{ min}\longrightarrow 2\pi$$$$50\text{ min}\longrightarrow x$$

Portanto:

$$\frac{x}{2\pi}=\frac{50}{60}.$$

Simplificando:

$$\frac{x}{2\pi}=\frac{5}{6}.$$

Logo:

$$x=2\pi\cdot\frac{5}{6}.$$

Assim:

$$x=\frac{10\pi}{6}$$

e, simplificando:

$$\boxed{x=\frac{5\pi}{3}}.$$

Resultado

O ponteiro dos minutos percorre:

$$\boxed{\frac{5\pi}{3}\text{ radianos}}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b) }\frac{5\pi}{3}}.$$

🧩 Exercício 6 Médio

Determine todos os valores de $m$ para que:

$$\operatorname{sen}x=2-m$$

e

$$\cos x=\sqrt{2-m^2}.$$

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Lembre-se da relação fundamental da trigonometria:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

Substitua os valores de $\operatorname{sen}x$ e $\cos x$ nessa relação e determine $m$.

Depois, verifique quais valores encontrados tornam o radical

$$\sqrt{2-m^2}$$

real e satisfazem as duas condições simultaneamente.

Passo 1 — Utilizando a relação fundamental

Sabemos que:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

Como:

$$\operatorname{sen}x=2-m$$

e

$$\cos x=\sqrt{2-m^2},$$

substituímos na relação:

$$(2-m)^2+\left(\sqrt{2-m^2}\right)^2=1.$$

Como:

$$\left(\sqrt{2-m^2}\right)^2=2-m^2,$$

temos:

$$(2-m)^2+2-m^2=1.$$

---

Passo 2 — Desenvolvendo

Expandindo o quadrado:

$$4-4m+m^2+2-m^2=1.$$

Os termos $m^2$ se cancelam:

$$6-4m=1.$$

Logo:

$$-4m=-5$$

e, portanto:

$$\boxed{m=\frac54}.$$

---

Passo 3 — Verificando o domínio

Para que o cosseno seja real, precisamos ter:

$$2-m^2\geq0.$$

Para

$$m=\frac54,$$

temos:

$$2-\left(\frac54\right)^2 = 2-\frac{25}{16} = \frac{32-25}{16} = \frac7{16}>0.$$

Portanto, o radical é real.

Além disso:

$$\operatorname{sen}x=2-\frac54=\frac34$$

e

$$\cos x=\sqrt{\frac7{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.$$

Verificando:

$$\left(\frac34\right)^2+ \left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2 = \frac9{16}+\frac7{16} =1.$$

Assim, as duas condições podem ser satisfeitas simultaneamente.

Resultado

O único valor possível de $m$ é:

$$\boxed{m=\frac54}.$$

🧩 Exercício 7 (PUC)Fácil

Todos os valores de $x$, de modo que a expressão

$$\operatorname{sen}\theta=\frac{2x-1}{3}$$

exista, são:

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Sabemos que o seno de qualquer número real está limitado ao intervalo:

$$-1\leq\operatorname{sen}\theta\leq1.$$

Portanto, para que a expressão faça sentido, devemos impor essa condição ao segundo membro:

$$-1\leq\frac{2x-1}{3}\leq1.$$

Passo 1 — Condição de existência

Para qualquer ângulo real $\theta$, temos:

$$-1\leq\operatorname{sen}\theta\leq1.$$

Como:

$$\operatorname{sen}\theta=\frac{2x-1}{3},$$

precisamos ter:

$$-1\leq\frac{2x-1}{3}\leq1.$$

---

Passo 2 — Resolvendo a desigualdade

Multiplicando toda a desigualdade por $3$:

$$-3\leq2x-1\leq3.$$

Somando $1$ aos três membros:

$$-2\leq2x\leq4.$$

Dividindo por $2$:

$$-1\leq x\leq2.$$

Portanto:

$$\boxed{-1\leq x\leq2}.$$

---

Resultado

Os valores de $x$ para os quais a expressão pode existir são:

$$\boxed{-1\leq x\leq2}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c) }-1\leq x\leq2}.$$

🧩 Exercício 8 (PUC)Fácil

O valor numérico da expressão

$$y=\cos 4x+\operatorname{sen}2x+\operatorname{tg}2x-\operatorname{sen}8x$$

para

$$x=\frac{\pi}{2}$$

é:

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Substitua diretamente

$$x=\frac{\pi}{2}$$

na expressão e utilize os valores conhecidos das funções trigonométricas.

Lembre-se de que:

$$\operatorname{sen}(k\pi)=0$$

e

$$\cos(2k\pi)=1.$$

Passo 1 — Substituindo o valor de $x$

Temos:

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Então:

$$y= \cos\left(4\cdot\frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{sen}\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right) + \operatorname{tg}\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right) - \operatorname{sen}\left(8\cdot\frac{\pi}{2}\right).$$

Simplificando os ângulos:

$$y= \cos(2\pi) + \operatorname{sen}(\pi) + \operatorname{tg}(\pi) - \operatorname{sen}(4\pi).$$

---

Passo 2 — Calculando os valores

Sabemos que:

$$\cos(2\pi)=1,$$$$\operatorname{sen}(\pi)=0,$$$$\operatorname{tg}(\pi)=0$$

e

$$\operatorname{sen}(4\pi)=0.$$

Portanto:

$$y=1+0+0-0.$$

Logo:

$$\boxed{y=1}.$$

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b) }1}.$$

🧩 Exercício 9 (FUVEST)Fácil

O menor valor de

$$\frac{1}{3-\cos x},$$

com $x$ real, é:

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Sabemos que:

$$-1\leq\cos x\leq1.$$

A partir disso, determine o maior valor possível do denominador

$$3-\cos x.$$

Como o numerador é constante e positivo, o menor valor da fração ocorre quando o denominador é máximo.

Passo 1 — Analisando o denominador

Sabemos que:

$$-1\leq\cos x\leq1.$$

O denominador é:

$$3-\cos x.$$

Para que a fração seja a menor possível, precisamos que o denominador seja o maior possível.

Isso acontece quando:

$$\cos x=-1.$$

Assim:

$$3-\cos x=3-(-1)=4.$$

---

Passo 2 — Calculando o menor valor

Substituindo o maior valor possível do denominador:

$$\frac{1}{3-\cos x} = \frac{1}{4}.$$

Portanto:

$$\boxed{\frac14}.$$

Resultado

O menor valor da expressão é:

$$\boxed{\frac14}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b) }\frac14}.$$

🧩 Exercício 10 (FUVEST-93 - Adaptada)Fácil

O valor máximo de

$$f(x,y)=3\cos x+2\operatorname{sen} y$$

é:

💡 Dica — clique para visualizar

Sabemos que:

$$-1\leq\cos x\leq1$$

e

$$-1\leq\operatorname{sen}y\leq1.$$

Como os coeficientes $3$ e $2$ são positivos, o valor máximo ocorre quando $\cos x=1$ e $\operatorname{sen}y=1$.

Passo 1 — Analisando cada parcela

Sabemos que:

$$\cos x\leq1$$

e

$$\operatorname{sen}y\leq1.$$

Multiplicando pelas constantes positivas:

$$3\cos x\leq3$$

e

$$2\operatorname{sen}y\leq2.$$

Somando as duas desigualdades:

$$3\cos x+2\operatorname{sen}y\leq3+2.$$

Portanto:

$$f(x,y)\leq5.$$

---

Passo 2 — Verificando se o valor é atingido

Para:

$$x=0,$$

temos:

$$\cos0=1.$$

E para:

$$y=\frac{\pi}{2},$$

temos:

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

Assim:

$$f\left(0,\frac{\pi}{2}\right) = 3(1)+2(1) = 5.$$

Logo, o valor máximo é realmente:

$$\boxed{5}.$$

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{e) }5}.$$

🧩 Exercício 11 (CESCEA)Fácil

Seja $A\subset B$, $B=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x\leq2\pi\}$ o domínio da função $f$, dada por:

$$f(x)=\frac{1-\operatorname{sen}^2x}{1+\operatorname{sen}x}.$$

Então, $A$ é igual a:

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Para determinar o domínio, observe primeiro que o denominador não pode ser zero.

Portanto:

$$1+\operatorname{sen}x\neq0.$$

Lembre-se de que:

$$\operatorname{sen}x=-1$$

ocorre, no intervalo $[0,2\pi]$, apenas em:

$$x=\frac{3\pi}{2}.$$

Passo 1 — Condição para a função existir

A função é:

$$f(x)=\frac{1-\operatorname{sen}^2x}{1+\operatorname{sen}x}.$$

Uma fração só existe quando seu denominador é diferente de zero.

Assim:

$$1+\operatorname{sen}x\neq0.$$

Logo:

$$\operatorname{sen}x\neq-1.$$

---

Passo 2 — Procurando o valor proibido

No intervalo

$$0\leq x\leq2\pi,$$

temos:

$$\operatorname{sen}x=-1$$

quando:

$$x=\frac{3\pi}{2}.$$

Portanto, esse é o único valor que deve ser excluído do domínio.

---

Passo 3 — Determinando $A$

Como $B=[0,2\pi]$, o domínio é:

$$A= \left\{ x\in B\mid x\neq\frac{3\pi}{2} \right\}.$$

Portanto:

$$\boxed{ A=\left\{ x\in B\mid x\neq\frac{3\pi}{2} \right\} }.$$

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c) } \left\{x\in B\mid x\neq\frac{3\pi}{2}\right\}}.$$

🧩 Exercício 12 Fácil

Dado que

$$\operatorname{sen}x\cdot\cos x=m,$$

calcule o valor de:

$$y=\operatorname{sen}^4x+\cos^4x$$

e

$$z=\operatorname{sen}^6x+\cos^6x,$$

em função de $m$.

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Para encontrar $y$, desenvolva:

$$(\operatorname{sen}^2x+\cos^2x)^2.$$

Para encontrar $z$, utilize a identidade:

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$

Lembre-se de que:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

Passo 1 — Calculando $y$

Queremos determinar:

$$y=\operatorname{sen}^4x+\cos^4x.$$

Partimos da identidade:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Tomando

$$a=\operatorname{sen}^2x \quad\text{e}\quad b=\cos^2x,$$

temos:

$$(\operatorname{sen}^2x+\cos^2x)^2 = \operatorname{sen}^4x +2\operatorname{sen}^2x\cos^2x +\cos^4x.$$

Como:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1,$$

segue que:

$$1= \operatorname{sen}^4x +2\operatorname{sen}^2x\cos^2x +\cos^4x.$$

Mas:

$$\operatorname{sen}x\cos x=m,$$

portanto:

$$\operatorname{sen}^2x\cos^2x=m^2.$$

Assim:

$$1=y+2m^2.$$

Logo:

$$\boxed{y=1-2m^2}.$$

---

Passo 2 — Calculando $z$

Agora queremos:

$$z=\operatorname{sen}^6x+\cos^6x.$$

Usaremos a identidade:

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$

Tomando:

$$a=\operatorname{sen}^2x \quad\text{e}\quad b=\cos^2x,$$

obtemos:

$$\operatorname{sen}^6x+\cos^6x = (\operatorname{sen}^2x+\cos^2x)^3 - 3\operatorname{sen}^2x\cos^2x (\operatorname{sen}^2x+\cos^2x).$$

Como:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$$

e

$$\operatorname{sen}^2x\cos^2x=m^2,$$

temos:

$$z=1^3-3m^2(1).$$

Portanto:

$$\boxed{z=1-3m^2}.$$

---

Resultado

Os valores pedidos, em função de $m$, são:

$$\boxed{y=1-2m^2}$$

e

$$\boxed{z=1-3m^2}.$$

🧩 Exercício 13 Fácil

Prove que:

$$16\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}30^\circ \operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ=1.$$

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Agrupe os fatores utilizando a identidade:

$$2\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b = \cos(a-b)-\cos(a+b).$$

Uma boa escolha é agrupar os ângulos $10^\circ$ e $70^\circ$, e também $30^\circ$ e $50^\circ$.

Passo 1 — Agrupando os fatores

Temos:

$$16\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}30^\circ \operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ.$$

Podemos escrever:

$$16= 4\cdot4.$$

Então:

$$\begin{aligned} 16\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}30^\circ \operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ ={}& (4\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}70^\circ) \\ &\cdot (4\operatorname{sen}30^\circ\operatorname{sen}50^\circ). \end{aligned}$$

---

Passo 2 — Aplicando a identidade do produto para soma

Utilizamos:

$$2\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b = \cos(a-b)-\cos(a+b).$$

Para os ângulos $10^\circ$ e $70^\circ$:

$$2\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}70^\circ = \cos60^\circ-\cos80^\circ.$$

Como:

$$\cos60^\circ=\frac12,$$

temos:

$$2\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}70^\circ = \frac12-\cos80^\circ.$$

Agora, para $30^\circ$ e $50^\circ$:

$$2\operatorname{sen}30^\circ\operatorname{sen}50^\circ = \cos20^\circ-\cos80^\circ.$$

Como:

$$\cos20^\circ=2\cos^210^\circ-1,$$

podemos também simplificar a expressão por meio de uma identidade mais direta.

Uma forma ainda mais elegante é utilizar:

$$\operatorname{sen}50^\circ=\cos40^\circ$$

e

$$\operatorname{sen}70^\circ=\cos20^\circ.$$

Assim, o produto se transforma em:

$$16\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}30^\circ \cos40^\circ\cos20^\circ.$$

Como:

$$\operatorname{sen}30^\circ=\frac12,$$

segue que:

$$=8\operatorname{sen}10^\circ\cos20^\circ\cos40^\circ.$$

---

Passo 3 — Usando a fórmula do produto dos cossenos

Da identidade:

$$2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}2x,$$

temos:

$$2\operatorname{sen}10^\circ\cos10^\circ = \operatorname{sen}20^\circ.$$

Também sabemos que:

$$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x.$$

Aplicando sucessivamente as fórmulas de duplicação, obtemos:

$$\operatorname{sen}80^\circ = 8\operatorname{sen}10^\circ \cos10^\circ\cos20^\circ\cos40^\circ.$$

Como:

$$\operatorname{sen}80^\circ=\cos10^\circ,$$

cancelando $\cos10^\circ\neq0$:

$$8\operatorname{sen}10^\circ \cos20^\circ\cos40^\circ=1.$$

Portanto:

$$\boxed{ 16\operatorname{sen}10^\circ\operatorname{sen}30^\circ \operatorname{sen}50^\circ\operatorname{sen}70^\circ=1 }.$$

🧩 Exercício 13 Médio

Calcule $\operatorname{sen}3x$ em função de $\operatorname{sen}x$ apenas.

💡 Dica — clique para visualizar

Comece pela fórmula da adição:

$$\operatorname{sen}3x = \operatorname{sen}(2x+x).$$

Utilize:

$$\operatorname{sen}(a+b) = \operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b$$

e

$$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x.$$

Ao final, substitua $\cos^2x$ por $1-\operatorname{sen}^2x$.

Temos:

$$\operatorname{sen}3x = \operatorname{sen}(2x+x).$$

Pela fórmula da soma:

$$\operatorname{sen}3x = \operatorname{sen}2x\cos x + \cos2x\operatorname{sen}x.$$

Sabemos que:

$$\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$$

e

$$\cos2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x.$$

Substituindo:

$$\operatorname{sen}3x = 2\operatorname{sen}x\cos^2x + (\cos^2x-\operatorname{sen}^2x)\operatorname{sen}x.$$

Distribuindo:

$$\operatorname{sen}3x = 3\operatorname{sen}x\cos^2x - \operatorname{sen}^3x.$$

Como:

$$\cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x,$$

temos:

$$\operatorname{sen}3x = 3\operatorname{sen}x(1-\operatorname{sen}^2x) - \operatorname{sen}^3x.$$

Logo:

$$\boxed{ \operatorname{sen}3x = 3\operatorname{sen}x-4\operatorname{sen}^3x }.$$

---

🧩 Exercício 14 Fácil

Calcule $\operatorname{tg}3x$ em função de $\operatorname{tg}x$ apenas.

💡 Dica — clique para visualizar

Escreva:

$$\operatorname{tg}3x = \operatorname{tg}(2x+x)$$

e utilize a fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}(a+b) = \frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b} {1-\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}.$$

Sabemos que:

$$\operatorname{tg}3x = \operatorname{tg}(2x+x).$$

Pela fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}3x = \frac{\operatorname{tg}2x+\operatorname{tg}x} {1-\operatorname{tg}2x\operatorname{tg}x}.$$

Agora, utilizando:

$$\operatorname{tg}2x = \frac{2\operatorname{tg}x} {1-\operatorname{tg}^2x},$$

temos:

$$\operatorname{tg}3x = \frac{ \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x} +\operatorname{tg}x }{ 1- \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x} \operatorname{tg}x }.$$

Colocando os termos no mesmo denominador:

$$\operatorname{tg}3x = \frac{ 2\operatorname{tg}x+ \operatorname{tg}x(1-\operatorname{tg}^2x) }{ 1-\operatorname{tg}^2x-2\operatorname{tg}^2x }.$$

Simplificando o numerador:

$$2\operatorname{tg}x+\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}^3x = 3\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}^3x.$$

E o denominador:

$$1-\operatorname{tg}^2x-2\operatorname{tg}^2x = 1-3\operatorname{tg}^2x.$$

Portanto:

$$\boxed{ \operatorname{tg}3x = \frac{3\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}^3x} {1-3\operatorname{tg}^2x} }.$$

---

🧩 Exercício 15 Médio

Calcule $\operatorname{tg}4x$ em função de $\operatorname{tg}x$ apenas.

💡 Dica — clique para visualizar

Uma maneira simples é escrever:

$$\operatorname{tg}4x=\operatorname{tg}(2\cdot2x)$$

e utilizar duas vezes a fórmula:

$$\operatorname{tg}2x= \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x}.$$

Começamos com:

$$\operatorname{tg}4x=\operatorname{tg}(2\cdot2x).$$

Pela fórmula do arco duplo:

$$\operatorname{tg}4x = \frac{2\operatorname{tg}2x} {1-\operatorname{tg}^22x}.$$

Sabemos que:

$$\operatorname{tg}2x = \frac{2\operatorname{tg}x} {1-\operatorname{tg}^2x}.$$

Substituindo:

$$\operatorname{tg}4x = \frac{ \frac{4\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x} }{ 1- \frac{4\operatorname{tg}^2x} {(1-\operatorname{tg}^2x)^2} }.$$

Multiplicando numerador e denominador por

$$(1-\operatorname{tg}^2x)^2,$$

obtemos:

$$\operatorname{tg}4x = \frac{ 4\operatorname{tg}x(1-\operatorname{tg}^2x) }{ (1-\operatorname{tg}^2x)^2-4\operatorname{tg}^2x }.$$

Desenvolvendo o denominador:

$$(1-\operatorname{tg}^2x)^2 = 1-2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x.$$

Portanto:

$$(1-\operatorname{tg}^2x)^2-4\operatorname{tg}^2x = 1-6\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x.$$

No numerador:

$$4\operatorname{tg}x(1-\operatorname{tg}^2x) = 4\operatorname{tg}x-4\operatorname{tg}^3x.$$

Logo:

$$\boxed{ \operatorname{tg}4x = \frac{ 4\operatorname{tg}x-4\operatorname{tg}^3x }{ 1-6\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x } }.$$

🧩 Exercício 16 Médio

Mostre que, se $A$, $B$ e $C$ são ângulos de um triângulo, então:

$$\operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B+\operatorname{tg}C = \operatorname{tg}A\operatorname{tg}B\operatorname{tg}C.$$

Como $A$, $B$ e $C$ são ângulos de um triângulo:

$$A+B+C=180^\circ.$$

Logo:

$$A+B=180^\circ-C.$$

Aplicando a fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B} {1-\operatorname{tg}A\operatorname{tg}B}.$$

Por outro lado:

$$\operatorname{tg}(180^\circ-C) = -\operatorname{tg}C.$$

Portanto:

$$\frac{\operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B} {1-\operatorname{tg}A\operatorname{tg}B} = -\operatorname{tg}C.$$

Multiplicando:

$$\operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B = -\operatorname{tg}C + \operatorname{tg}A\operatorname{tg}B\operatorname{tg}C.$$

Assim:

$$\boxed{ \operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B+\operatorname{tg}C = \operatorname{tg}A\operatorname{tg}B\operatorname{tg}C }.$$

🧩 Exercício 17 Médio

Mostre que, se $A$, $B$ e $C$ são ângulos de um triângulo, então:

$$\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2 + \operatorname{tg}\frac B2\operatorname{tg}\frac C2 + \operatorname{tg}\frac C2\operatorname{tg}\frac A2 = 1.$$

Como $A$, $B$ e $C$ são ângulos de um triângulo:

$$A+B+C=180^\circ.$$

Dividindo por $2$:

$$\frac A2+\frac B2+\frac C2=90^\circ.$$

Portanto:

$$\frac A2+\frac B2 = 90^\circ-\frac C2.$$

Aplicando a fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}\left(\frac A2+\frac B2\right) = \frac{ \operatorname{tg}\frac A2+\operatorname{tg}\frac B2 }{ 1-\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2 }.$$

Mas:

$$\operatorname{tg}\left(90^\circ-\frac C2\right) = \frac{1}{\operatorname{tg}\frac C2}.$$

Assim:

$$\frac{ \operatorname{tg}\frac A2+\operatorname{tg}\frac B2 }{ 1-\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2 } = \frac{1}{\operatorname{tg}\frac C2}.$$

Multiplicando:

$$\operatorname{tg}\frac C2 \left( \operatorname{tg}\frac A2+\operatorname{tg}\frac B2 \right) = 1-\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2.$$

Distribuindo:

$$\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac C2 + \operatorname{tg}\frac B2\operatorname{tg}\frac C2 = 1-\operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2.$$

Logo:

$$\boxed{ \operatorname{tg}\frac A2\operatorname{tg}\frac B2 + \operatorname{tg}\frac B2\operatorname{tg}\frac C2 + \operatorname{tg}\frac C2\operatorname{tg}\frac A2 = 1 }.$$

🧩 Exercício 18 Médio

Mostre que, se $A$, $B$ e $C$ são ângulos de um triângulo, então:

$$\operatorname{sen}\frac A2 = \sqrt{ \frac{(p-b)(p-c)}{bc} },$$

onde $p$ é o semiperímetro do triângulo.

Pela Lei dos Cossenos:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

Logo:

$$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$

Usando:

$$\cos A=1-2\operatorname{sen}^2\frac A2,$$

temos:

$$1-2\operatorname{sen}^2\frac A2 = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$$

Então:

$$2\operatorname{sen}^2\frac A2 = \frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}.$$

Fatorando:

$$2\operatorname{sen}^2\frac A2 = \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc}.$$

Como:

$$p=\frac{a+b+c}{2},$$

temos:

$$a-b+c=2(p-b)$$

e

$$a+b-c=2(p-c).$$

Portanto:

$$2\operatorname{sen}^2\frac A2 = \frac{4(p-b)(p-c)}{2bc}.$$

Assim:

$$\operatorname{sen}^2\frac A2 = \frac{(p-b)(p-c)}{bc}.$$

Como $A$ é um ângulo interno do triângulo:

$$\operatorname{sen}\frac A2>0.$$

Logo:

$$\boxed{ \operatorname{sen}\frac A2 = \sqrt{ \frac{(p-b)(p-c)}{bc} } }.$$

🧩 Exercício 19 Médio

Demonstre que a área $S$ de um triângulo pode ser dada por:

$$S=\frac{bc\operatorname{sen}A}{2},$$

onde $b$ e $c$ são lados do triângulo e $A$ é o ângulo formado por esses lados.

Considere um triângulo de lados $b$ e $c$ formando o ângulo $A$.

Trace a altura relativa ao lado $c$.

Seja $h$ essa altura.

Pela definição de seno no triângulo retângulo formado pela altura:

$$\operatorname{sen}A=\frac{h}{b}.$$

Portanto:

$$h=b\operatorname{sen}A.$$

A área de um triângulo é:

$$S=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}.$$

Tomando $c$ como base:

$$S=\frac{ch}{2}.$$

Substituindo $h=b\operatorname{sen}A$:

$$S = \frac{c(b\operatorname{sen}A)}{2}.$$

Logo:

$$\boxed{ S=\frac{bc\operatorname{sen}A}{2} }.$$

🧩 Exercício 20 Médio

Demonstre que a área $S$ de um triângulo pode ser dada por:

$$S=\frac{abc}{4R},$$

onde $a$, $b$ e $c$ são os lados do triângulo e $R$ é o raio da circunferência circunscrita.

Pelo resultado anterior, sabemos que:

$$S=\frac{bc\operatorname{sen}A}{2}.$$

Agora utilizamos a relação entre o lado $a$ e o raio da circunferência circunscrita $R$.

Pela Lei dos Senos:

$$\frac{a}{\operatorname{sen}A}=2R.$$

Logo:

$$a=2R\operatorname{sen}A.$$

Isolando o seno:

$$\operatorname{sen}A=\frac{a}{2R}.$$

Substituindo na fórmula da área:

$$S = \frac{bc}{2}\cdot\frac{a}{2R}.$$

Portanto:

$$S = \frac{abc}{4R}.$$

Assim:

$$\boxed{ S=\frac{abc}{4R} }.$$

🧩 Exercício 21 Médio

Simplifique a expressão

$$S= \frac{1}{1+\operatorname{sen}^2x} + \frac{1}{1+\cos^2x} + \frac{1}{2+\operatorname{tg}^2x} + \frac{1}{2+\operatorname{cotg}^2x}.$$

Partiremos diretamente da relação fundamental:

$$\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$

1. Dividindo por $\cos^2x$

Temos:

$$\frac{\operatorname{sen}^2x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x}.$$

Logo:

$$\operatorname{tg}^2x+1 = \frac{1}{\cos^2x}.$$

Portanto:

$$\boxed{ 1+\operatorname{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x} }.$$

2. Dividindo por $\operatorname{sen}^2x$

Da mesma forma:

$$\frac{\operatorname{sen}^2x}{\operatorname{sen}^2x} + \frac{\cos^2x}{\operatorname{sen}^2x} = \frac{1}{\operatorname{sen}^2x}.$$

Assim:

$$1+\operatorname{cotg}^2x = \frac{1}{\operatorname{sen}^2x}.$$

Portanto:

$$\boxed{ 1+\operatorname{cotg}^2x = \frac{1}{\operatorname{sen}^2x} }.$$

3. Reescrevendo a expressão

Temos:

$$S= \frac{1}{1+\operatorname{sen}^2x} + \frac{1}{1+\cos^2x} + \frac{1}{2+\operatorname{tg}^2x} + \frac{1}{2+\operatorname{cotg}^2x}.$$

Agora, usando

$$1+\operatorname{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x},$$

podemos escrever:

$$2+\operatorname{tg}^2x = 1+\frac{1}{\cos^2x}.$$

Colocando no mesmo denominador:

$$2+\operatorname{tg}^2x = \frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}.$$

Logo:

$$\frac{1}{2+\operatorname{tg}^2x} = \frac{\cos^2x}{1+\cos^2x}.$$

Analogamente, usando

$$1+\operatorname{cotg}^2x = \frac{1}{\operatorname{sen}^2x},$$

temos:

$$2+\operatorname{cotg}^2x = 1+\frac{1}{\operatorname{sen}^2x} = \frac{1+\operatorname{sen}^2x}{\operatorname{sen}^2x}.$$

Portanto:

$$\frac{1}{2+\operatorname{cotg}^2x} = \frac{\operatorname{sen}^2x}{1+\operatorname{sen}^2x}.$$

Assim:

$$S= \frac{1}{1+\operatorname{sen}^2x} + \frac{1}{1+\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{1+\cos^2x} + \frac{\operatorname{sen}^2x}{1+\operatorname{sen}^2x}.$$

Agrupando os termos:

$$S= \frac{1+\operatorname{sen}^2x} {1+\operatorname{sen}^2x} + \frac{1+\cos^2x} {1+\cos^2x}.$$

Portanto:

$$S=1+1.$$

Logo:

$$\boxed{S=2}.$$

🧩 Exercício 22 Fuvest-2002Médio

Se $\alpha$ está no intervalo

$$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$

e satisfaz

$$\operatorname{sen}^4\alpha-\cos^4\alpha=\frac14,$$

então o valor de $\operatorname{tg}\alpha$ é:

Temos:

$$\operatorname{sen}^4\alpha-\cos^4\alpha=\frac14.$$

Vamos utilizar a diferença de quadrados:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Assim:

$$(\operatorname{sen}^2\alpha-\cos^2\alpha) (\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha) = \frac14.$$

Como:

$$\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$

segue que:

$$\operatorname{sen}^2\alpha-\cos^2\alpha = \frac14.$$

Também temos:

$$\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

Somando as duas equações:

$$2\operatorname{sen}^2\alpha = \frac54.$$

Logo:

$$\operatorname{sen}^2\alpha=\frac58.$$

Subtraindo as equações:

$$2\cos^2\alpha = \frac34.$$

Portanto:

$$\cos^2\alpha=\frac38.$$

Agora:

$$\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\operatorname{sen}^2\alpha} {\cos^2\alpha}.$$

Substituindo:

$$\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\frac58}{\frac38} = \frac53.$$

Como

$$\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],$$

temos $\operatorname{tg}\alpha\geq0$. Portanto:

$$\boxed{ \operatorname{tg}\alpha=\sqrt{\frac53} }.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b) }\sqrt{\frac53}}.$$

🧩 Exercício 23 ITA-1996Difícil

Seja $a$ uma constante real. Eliminando $\theta$ das equações abaixo:

$$\begin{cases} x\operatorname{sen}\theta+y\cos\theta=2a\operatorname{sen}2\theta\\ x\cos\theta-y\operatorname{sen}\theta=a\cos2\theta \end{cases}$$

obtemos:

Vamos eliminar $\theta$ de maneira conveniente.

Das equações:

$$\begin{cases} x\operatorname{sen}\theta+y\cos\theta=2a\operatorname{sen}2\theta\\ x\cos\theta-y\operatorname{sen}\theta=a\cos2\theta \end{cases}$$

usaremos:

$$\operatorname{sen}2\theta=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$$

e

$$\cos2\theta=\cos^2\theta-\operatorname{sen}^2\theta.$$

Para simplificar a escrita, coloque:

$$s=\operatorname{sen}\theta, \qquad c=\cos\theta.$$

Então:

$$s^2+c^2=1.$$

As equações ficam:

$$xs+yc=4asc$$

e

$$xc-ys=a(c^2-s^2).$$

1. Encontrando $x$

Multiplicando a primeira equação por $s$ e a segunda por $c$, temos:

$$xs^2+ycs=4as^2c$$

e

$$xc^2-ycs=ac(c^2-s^2).$$

Somando:

$$x(s^2+c^2) = 4as^2c+ac(c^2-s^2).$$

Como $s^2+c^2=1$:

$$x=4as^2c+ac^3-as^2c.$$

Logo:

$$x=a(c^3+3s^2c).$$

Como:

$$s^2+c^2=1,$$

temos:

$$c^3+3s^2c = c(c^2+3s^2) = c(1+2s^2).$$

Portanto:

$$\boxed{x=ac(1+2s^2)}.$$

2. Encontrando $y$

Agora multiplicamos a primeira equação por $c$ e a segunda por $s$:

$$xsc+yc^2=4asc^2$$

e

$$xcs-ys^2=as(c^2-s^2).$$

Subtraindo a segunda da primeira:

$$y(c^2+s^2) = 4asc^2-as(c^2-s^2).$$

Como $c^2+s^2=1$:

$$y=4asc^2-asc^2+as^3.$$

Logo:

$$y=a(3sc^2+s^3).$$

Então:

$$\boxed{y=as(3c^2+s^2)}.$$

Como:

$$s^2+c^2=1,$$

temos:

$$3c^2+s^2=1+2c^2.$$

Assim:

$$\boxed{y=as(1+2c^2)}.$$

---

3. Calculando $x+y$

Temos:

$$x+y = ac(1+2s^2)+as(1+2c^2).$$

Colocando $a$ em evidência:

$$x+y = a(c+s+2cs^2+2c^2s).$$

Observe que:

$$2cs^2+2c^2s = 2cs(s+c).$$

Logo:

$$x+y = a(s+c)(1+2sc).$$

Mas:

$$(s+c)^2=s^2+c^2+2sc=1+2sc.$$

Portanto:

$$x+y=a(s+c)(s+c)^2.$$

Assim:

$$\boxed{x+y=a(s+c)^3}.$$

---

4. Calculando $x-y$

De forma semelhante:

$$x-y = ac(1+2s^2)-as(1+2c^2).$$

Então:

$$x-y = a(c-s+2cs^2-2c^2s).$$

Como:

$$2cs^2-2c^2s = -2cs(c-s),$$

temos:

$$x-y = a(c-s)(1-2sc).$$

Agora:

$$(c-s)^2 = c^2+s^2-2sc = 1-2sc.$$

Portanto:

$$x-y=a(c-s)(c-s)^2.$$

Assim:

$$\boxed{x-y=a(c-s)^3}.$$

---

5. Elevando a $\frac23$

Das duas relações obtidas:

$$x+y=a(s+c)^3$$

e

$$x-y=a(c-s)^3.$$

Logo:

$$(x+y)^{\frac23} = a^{\frac23}(s+c)^2$$

e

$$(x-y)^{\frac23} = a^{\frac23}(c-s)^2.$$

Somando:

$$(x+y)^{\frac23}+(x-y)^{\frac23} = a^{\frac23} \left[ (s+c)^2+(c-s)^2 \right].$$

Desenvolvendo:

$$(s+c)^2+(c-s)^2 = (s^2+2sc+c^2) + (c^2-2sc+s^2).$$

Os termos $2sc$ se cancelam:

$$=2s^2+2c^2.$$

Como:

$$s^2+c^2=1,$$

temos:

$$(s+c)^2+(c-s)^2=2.$$

Portanto:

$$\boxed{ (x+y)^{\frac23}+(x-y)^{\frac23} = 2a^{\frac23} }.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}$$

🧩 Exercício 24 ITAMédio

Considere a função

$$f(x)=2\operatorname{sen}2x\cos2x.$$

Então:

Temos:

$$f(x)=2\operatorname{sen}2x\cos2x.$$

Pela fórmula:

$$2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha = \operatorname{sen}2\alpha,$$

com $\alpha=2x$, obtemos:

$$f(x)=\operatorname{sen}4x.$$

1. Verificando se $f$ é ímpar

Calculando $f(-x)$:

$$f(-x)=\operatorname{sen}(-4x).$$

Como o seno é uma função ímpar:

$$\operatorname{sen}(-4x) = -\operatorname{sen}4x.$$

Logo:

$$f(-x)=-f(x).$$

Portanto, $f$ é ímpar.

2. Verificando o período

O período fundamental de $\operatorname{sen}4x$ é:

$$T_0=\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Entretanto, a questão afirma que a função é periódica de período $\pi$.

Isso também é verdade, pois $\pi$ é um múltiplo inteiro do período fundamental:

$$\pi=2\cdot\frac{\pi}{2}.$$

De fato:

$$f(x+\pi) = \operatorname{sen}(4x+4\pi).$$

Como:

$$\operatorname{sen}(4x+4\pi) = \operatorname{sen}4x,$$

temos:

$$f(x+\pi)=f(x).$$

Assim, $\pi$ também é um período da função.

Portanto:

$$\boxed{\text{$f$ é ímpar e periódica de período $\pi$.}}$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}$$

🧩 Exercício 25 ITA-SP/2010Médio

O valor da soma

$$\sum_{n=1}^{6} \operatorname{sen}\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3^n}\right),$$

para todo $\alpha\in\mathbb{R}$, é igual a:

Usaremos a transformação:

$$2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B = \cos(A-B)-\cos(A+B).$$

Para cada termo da soma, temos:

$$A=\frac{2\alpha}{3^n}$$

e

$$B=\frac{\alpha}{3^n}.$$

Então:

$$2\operatorname{sen}\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3^n}\right)$$$$= \cos\left(\frac{\alpha}{3^n}\right) - \cos\left(\frac{3\alpha}{3^n}\right).$$

Como

$$\frac{3\alpha}{3^n} = \frac{\alpha}{3^{n-1}},$$

segue que:

$$\operatorname{sen}\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{3^n}\right) = \frac12 \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{3^n}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{3^{n-1}}\right) \right].$$

Portanto:

$$S= \frac12 \sum_{n=1}^{6} \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{3^n}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{3^{n-1}}\right) \right].$$

Escrevendo os termos:

$$\begin{aligned} S=\frac12\bigg[ &\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right)-\cos\alpha\\ &+\cos\left(\frac{\alpha}{9}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right)\\ &+\cos\left(\frac{\alpha}{27}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{9}\right)\\ &+\cos\left(\frac{\alpha}{81}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{27}\right)\\ &+\cos\left(\frac{\alpha}{243}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{81}\right)\\ &+\cos\left(\frac{\alpha}{729}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{243}\right) \bigg]. \end{aligned}$$

Observe que os termos intermediários se cancelam:

$$\cos\left(\frac{\alpha}{3}\right), \cos\left(\frac{\alpha}{9}\right), \cos\left(\frac{\alpha}{27}\right), \cos\left(\frac{\alpha}{81}\right), \cos\left(\frac{\alpha}{243}\right).$$

Restam apenas:

$$S= \frac12 \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right) - \cos\alpha \right].$$

Logo:

$$\boxed{ S= \frac12 \left[ \cos\left(\frac{\alpha}{729}\right)-\cos\alpha \right] }.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}$$

🧩 Exercício 26 IME-RJ/2005Médio

Resolva a equação:

$$2\operatorname{sen}11x+\cos3x+\sqrt3\operatorname{sen}3x=0.$$

Vamos agrupar os termos que envolvem $3x$ usando:

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.$$

Como

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12 \quad\text{e}\quad \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$

temos:

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac12\cos3x + \frac{\sqrt3}{2}\operatorname{sen}3x.$$

Multiplicando por $2$:

$$2\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos3x+\sqrt3\operatorname{sen}3x.$$

Substituindo na equação:

$$2\operatorname{sen}11x + 2\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) =0.$$

Dividindo por $2$:

$$\operatorname{sen}11x + \cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) =0.$$

Como

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{sen}11x,$$

e

$$-\operatorname{sen}11x = \cos\left(11x+\frac{\pi}{2}\right),$$

obtemos:

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(11x+\frac{\pi}{2}\right).$$

Usando:

$$\cos A=\cos B \iff A=2k\pi\pm B, \qquad k\in\mathbb Z,$$

temos dois casos.

Primeiro caso

$$3x-\frac{\pi}{3} = 11x+\frac{\pi}{2}+2k\pi.$$

Então:

$$-8x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi.$$

Logo:

$$\boxed{ x=-\frac{5\pi}{48}-\frac{k\pi}{4} }.$$

Podemos escrever equivalentemente:

$$\boxed{ x=\frac{7\pi}{48}+\frac{k\pi}{4} }.$$

Segundo caso

$$3x-\frac{\pi}{3} = -\left(11x+\frac{\pi}{2}\right)+2k\pi.$$

Assim:

$$14x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi.$$

Portanto:

$$\boxed{ x=-\frac{\pi}{84}+\frac{k\pi}{7} }.$$

Resposta

As soluções são:

$$\boxed{ x=\frac{7\pi}{48}+\frac{k\pi}{4} \quad\text{ou}\quad x=-\frac{\pi}{84}+\frac{k\pi}{7}, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

🧩 Exercício 27 ITA-2005Médio

Para todo $\alpha\in\mathbb{R}$ e $\beta\in\mathbb{R}$, com $|\beta|<1$, a expressão

$$\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\alpha+\operatorname{arcsen}\beta\right)$$

é igual a:

Vamos utilizar a fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg}A+\operatorname{tg}B} {1-\operatorname{tg}A\operatorname{tg}B}.$$

Faça:

$$A=\operatorname{arctg}\alpha$$

e

$$B=\operatorname{arcsen}\beta.$$

Então:

$$\operatorname{tg}A=\alpha.$$

Como:

$$\operatorname{sen}B=\beta,$$

e $B\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, temos:

$$\cos B=\sqrt{1-\beta^2}.$$

Assim:

$$\operatorname{tg}B = \frac{\operatorname{sen}B}{\cos B} = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$

Substituindo na fórmula da tangente da soma:

$$\operatorname{tg}(A+B) = \frac{ \alpha+\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} }{ 1-\frac{\alpha\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} }.$$

Multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{1-\beta^2}$:

$$\operatorname{tg}(A+B) = \frac{ \alpha\sqrt{1-\beta^2}+\beta }{ \sqrt{1-\beta^2}-\alpha\beta }.$$

Portanto:

$$\boxed{ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\alpha+\operatorname{arcsen}\beta\right) = \frac{ \alpha\sqrt{1-\beta^2}+\beta }{ \sqrt{1-\beta^2}-\alpha\beta } }.$$

Comparando com as alternativas, nenhuma delas é equivalente a essa expressão.

Logo:

$$\boxed{\text{e) Nenhuma das anteriores.}}$$