Complexos hard

🧩 Exercício 1 (AFA/2007)Fácil

Seja $z$ um número complexo não nulo e $i$ a unidade imaginária, com

$$i^2=-1$$

e $z\neq i$.

O conjunto de todos os valores de $z$ para os quais

$$\frac{z+i}{1+iz}$$

é um número real representa um(a):

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Lembre-se de uma propriedade importante:

Um número complexo é real se, e somente se, ele é igual ao seu conjugado.

Considere

$$w=\frac{z+i}{1+iz}$$

e imponha a condição

$$w=\overline{w}.$$

Depois, utilize a propriedade

$$z\overline z=|z|^2.$$

Ideia principal

A expressão

$$\frac{z+i}{1+iz}$$

deve ser um número real.

Em vez de escrever $z=x+iy$, podemos usar diretamente uma propriedade dos números complexos:

$$\boxed{w\in\mathbb{R}\iff w=\overline w}.$$

Essa abordagem permite encontrar diretamente uma condição para $|z|$.

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Passo 1 — Igualando a expressão ao seu conjugado

Definimos:

$$w=\frac{z+i}{1+iz}.$$

Como $w$ é real:

$$w=\overline w.$$

Portanto:

$$\frac{z+i}{1+iz} = \overline{\left(\frac{z+i}{1+iz}\right)}.$$

Usando a propriedade

$$\boxed{ \overline{\frac{a}{b}} = \frac{\overline a}{\overline b} },$$

temos:

$$\frac{z+i}{1+iz} = \frac{\overline{z+i}} {\overline{1+iz}}.$$

Como

$$\overline{i}=-i,$$

segue que:

$$\overline{z+i}=\overline z-i$$

e

$$\overline{1+iz}=1-i\overline z.$$

Logo:

$$\boxed{ \frac{z+i}{1+iz} = \frac{\overline z-i}{1-i\overline z} }.$$

---

Passo 2 — Fazendo a multiplicação cruzada

Temos:

$$\frac{z+i}{1+iz} = \frac{\overline z-i}{1-i\overline z}.$$

Multiplicando em cruz:

$$(z+i)(1-i\overline z) = (\overline z-i)(1+iz).$$

Agora vamos desenvolver cada lado.

Lado esquerdo

$$(z+i)(1-i\overline z)$$

Aplicando a propriedade distributiva:

$$=z-iz\overline z+i-i^2\overline z.$$

Como

$$i^2=-1,$$

temos:

$$=z-iz\overline z+i+\overline z.$$

Portanto:

$$\boxed{ z+\overline z+i-iz\overline z }.$$

Lado direito

$$(\overline z-i)(1+iz)$$

Aplicando novamente a distributiva:

$$=\overline z+iz\overline z-i-i^2z.$$

Como $i^2=-1$:

$$=\overline z+iz\overline z-i+z.$$

Assim:

$$\boxed{ z+\overline z-i+iz\overline z }.$$

---

Passo 3 — Simplificando a igualdade

Igualando os dois resultados:

$$z+\overline z+i-iz\overline z = z+\overline z-i+iz\overline z.$$

Podemos cancelar $z+\overline z$ dos dois lados:

$$i-iz\overline z = -i+iz\overline z.$$

Passando os termos:

$$2i=2iz\overline z.$$

Dividindo ambos os lados por $2i$:

$$z\overline z=1.$$

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Passo 4 — Usando o módulo do número complexo

Uma propriedade fundamental dos números complexos é:

$$\boxed{z\overline z=|z|^2}.$$

Portanto:

$$|z|^2=1.$$

Como o módulo é não negativo:

$$\boxed{|z|=1}.$$

---

Passo 5 — Interpretando geometricamente

Se escrevemos

$$z=x+iy,$$

então:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Como $|z|=1$:

$$\sqrt{x^2+y^2}=1.$$

Elevando ao quadrado:

$$\boxed{x^2+y^2=1}.$$

Essa é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio $1$.

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Passo 6 — Atenção à condição $z\neq i$

O enunciado informa que:

$$z\neq i.$$

Isso é necessário porque, para $z=i$:

$$1+iz = 1+i^2 = 1-1 = 0.$$

Ou seja, a expressão original não estaria definida.

Portanto, rigorosamente, o conjunto obtido é a circunferência unitária sem o ponto $i$.

Isso não altera sua classificação como circunferência.

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Resultado

O conjunto dos valores de $z$ satisfaz:

$$|z|=1,$$

ou, no plano complexo:

$$x^2+y^2=1.$$

Portanto, representa uma:

$$\boxed{\text{circunferência}}$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{(C) circunferência}}$$

🧩 Exercício 2 (ITA/1998)Fácil

Sejam $x$ e $y$ números reais tais que:

$$\begin{cases} x^3-3xy^2=1\\ 3x^2y-y^3=1 \end{cases}$$

Então, o número complexo

$$z=x+iy$$

é tal que $z^3$ e $|z|$, valem, respectivamente:

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Calcule diretamente $z^3$, lembrando que

$$z=x+iy.$$

Compare a parte real e a parte imaginária de $z^3$ com as duas equações do sistema.

Depois, use a propriedade:

$$|z^3|=|z|^3.$$

Ideia principal

O sistema fornecido pelo problema possui exatamente os termos que aparecem quando desenvolvemos

$$(x+iy)^3.$$

Portanto, em vez de tentar encontrar separadamente os valores de $x$ e $y$, podemos interpretar o sistema diretamente como uma expressão envolvendo o número complexo

$$z=x+iy.$$

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Passo 1 — Calculando $z^3$

Temos:

$$z=x+iy.$$

Elevando ao cubo:

$$z^3=(x+iy)^3.$$

Pela fórmula do cubo da soma:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$

obtemos:

$$z^3 = x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3.$$

Agora usamos:

$$i^2=-1$$

e

$$i^3=-i.$$

Assim:

$$\begin{aligned} z^3 &=x^3+3x^2yi+3xy^2i^2+y^3i^3\\ &=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i. \end{aligned}$$

Agrupando as partes real e imaginária:

$$\boxed{ z^3=(x^3-3xy^2)+(3x^2y-y^3)i }.$$

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Passo 2 — Comparando com o sistema

O problema fornece:

$$x^3-3xy^2=1$$

e

$$3x^2y-y^3=1.$$

Substituindo essas informações na expressão de $z^3$:

$$z^3 = 1+1\cdot i.$$

Portanto:

$$\boxed{z^3=1+i}.$$

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Passo 3 — Calculando $|z|$

Agora precisamos determinar $|z|$.

Uma propriedade importante do módulo de números complexos é:

$$\boxed{|z^n|=|z|^n}.$$

Para $n=3$:

$$|z^3|=|z|^3.$$

Como já sabemos que

$$z^3=1+i,$$

podemos calcular seu módulo:

$$|z^3| = |1+i|.$$

Pela definição do módulo:

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Logo:

$$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2}.$$

Portanto:

$$|z^3|=\sqrt2.$$

Assim:

$$|z|^3=\sqrt2.$$

Escrevendo $\sqrt2$ como potência:

$$|z|^3=2^{1/2}.$$

Elevando ambos os lados à potência $\frac13$:

$$|z|=2^{1/6}.$$

Ou seja:

$$\boxed{|z|=\sqrt[6]{2}}.$$

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Passo 4 — Conclusão

Obtivemos:

$$\boxed{z^3=1+i}$$

e

$$\boxed{|z|=\sqrt[6]{2}}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{(B) }1+i\text{ e }\sqrt[6]{2}}.$$

🧩 Exercício 3 (IME/94)Médio

Dado

$$z=\frac{1}{\sqrt{7+24i}},$$

calcule as partes real e imaginária de $z$.

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Tente reconhecer o número complexo dentro da raiz como o quadrado de um número complexo da forma

$$a+bi.$$

Depois, use o conjugado para racionalizar o denominador.

Ideia principal

Temos:

$$z=\frac{1}{\sqrt{7+24i}}.$$

A estratégia é perceber que $7+24i$ pode ser escrito como o quadrado de um número complexo.

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Passo 1 — Fatorando o número complexo

Queremos encontrar uma expressão da forma

$$(a+bi)^2.$$

Desenvolvendo:

$$(a+bi)^2 = a^2+2abi+b^2i^2.$$

Como

$$i^2=-1,$$

temos:

$$(a+bi)^2 = (a^2-b^2)+2abi.$$

Precisamos obter:

$$7+24i.$$

Observe que:

$$4^2-3^2=16-9=7$$

e

$$2\cdot4\cdot3=24.$$

Portanto:

$$\boxed{7+24i=(4+3i)^2}.$$

De fato:

$$\begin{aligned} (4+3i)^2 &=16+24i+9i^2\\ &=16+24i-9\\ &=7+24i. \end{aligned}$$

Assim:

$$\sqrt{7+24i}=4+3i.$$

Logo:

$$z=\frac{1}{4+3i}.$$

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Passo 2 — Racionalizando o denominador

Para eliminar o número complexo do denominador, multiplicamos pelo seu conjugado:

$$z= \frac{1}{4+3i} \cdot \frac{4-3i}{4-3i}.$$

Então:

$$z= \frac{4-3i}{(4+3i)(4-3i)}.$$

Utilizamos a identidade:

$$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.$$

Portanto:

$$(4+3i)(4-3i) = 4^2+3^2 = 16+9 = 25.$$

Assim:

$$z=\frac{4-3i}{25}.$$

Separando as partes real e imaginária:

$$\boxed{ z=\frac4{25}-\frac3{25}i }.$$

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Passo 3 — Identificando as partes

Um número complexo na forma

$$z=a+bi$$

possui:

• parte real: $a$;
• parte imaginária: $b$.

Como

$$z=\frac4{25}-\frac3{25}i,$$

temos:

$$\boxed{\operatorname{Re}(z)=\frac4{25}}$$

e

$$\boxed{\operatorname{Im}(z)=-\frac3{25}}.$$

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Resultado

Portanto, as partes real e imaginária de $z$ são:

$$\boxed{ \operatorname{Re}(z)=\frac4{25} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Im}(z)=-\frac3{25} }.$$

🧩 Exercício 4 (IME/2008)Médio

Determine a expressão da soma a seguir, onde $n$ é um inteiro múltiplo de $4$:

$$1+2i+3i^2+\cdots +(n+1)i^n.$$

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Chame a soma de $S$.

Depois, multiplique toda a igualdade por $i$ e subtraia a nova expressão de $S$.

Observe que os coeficientes dos termos intermediários irão se cancelar, produzindo uma soma de uma progressão geométrica.

Ideia principal

Seja

$$S=1+2i+3i^2+\cdots +(n+1)i^n.$$

Como os coeficientes dos termos aumentam de $1$ em $1$, uma boa estratégia é multiplicar a soma por $i$.

Isso fará com que os termos fiquem alinhados e, ao subtrairmos as duas expressões, apareça uma progressão geométrica.

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Passo 1 — Multiplicando $S$ por $i$

Temos:

$$S=1+2i+3i^2+\cdots +(n+1)i^n.$$

Multiplicando por $i$:

$$iS=i+2i^2+3i^3+\cdots +(n+1)i^{n+1}.$$

Agora vamos calcular $S-iS$.

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Passo 2 — Subtraindo as expressões

Escrevendo os termos correspondentes:

$$\begin{aligned} S-iS ={}& 1+(2-1)i+(3-2)i^2+\cdots\\ &+(n+1-n)i^n-(n+1)i^{n+1}. \end{aligned}$$

Como

$$2-1=3-2=\cdots=(n+1)-n=1,$$

obtemos:

$$(1-i)S = 1+i+i^2+\cdots+i^n-(n+1)i^{n+1}.$$

Observe que

$$1+i+i^2+\cdots+i^n$$

é uma progressão geométrica, com:

$$a_1=1 \qquad\text{e}\qquad q=i.$$

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Passo 3 — Calculando a progressão geométrica

A soma dos $n+1$ primeiros termos de uma PG é:

$$S_{\text{PG}} = \frac{a_1(q^{n+1}-1)}{q-1}.$$

Assim:

$$1+i+i^2+\cdots+i^n = \frac{i^{n+1}-1}{i-1}.$$

Podemos escrever de forma equivalente:

$$\boxed{ 1+i+i^2+\cdots+i^n = \frac{1-i^{n+1}}{1-i} }.$$

Portanto:

$$(1-i)S = \frac{1-i^{n+1}}{1-i} -(n+1)i^{n+1}.$$

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Passo 4 — Usando que $n$ é múltiplo de $4$

O problema informa que $n$ é um inteiro múltiplo de $4$.

Logo, podemos escrever:

$$n=4k.$$

Como

$$i^4=1,$$

temos:

$$i^n=i^{4k}=1.$$

Além disso:

$$i^{n+1}=i^{4k+1}=i.$$

Substituindo:

$$(1-i)S = \frac{1-i}{1-i}-(n+1)i.$$

Logo:

$$(1-i)S=1-(n+1)i.$$

Portanto:

$$S= \frac{1-(n+1)i}{1-i}.$$

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Passo 5 — Racionalizando o denominador

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de $1-i$, que é $1+i$:

$$S= \frac{1-(n+1)i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i}.$$

Então:

$$S= \frac{[1-(n+1)i](1+i)} {(1-i)(1+i)}.$$

No denominador:

$$(1-i)(1+i) = 1-i^2 = 1-(-1) = 2.$$

Agora, no numerador:

$$[1-(n+1)i](1+i)$$$$=1+i-(n+1)i-(n+1)i^2.$$

Como $i^2=-1$:

$$=1+i-(n+1)i+(n+1).$$

Agrupando as partes real e imaginária:

$$=(n+2)-ni.$$

Assim:

$$S= \frac{(n+2)-ni}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{ S=\frac{n+2}{2}-\frac n2i }.$$

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Resultado

A expressão

$$1+2i+3i^2+\cdots +(n+1)i^n$$

vale:

$$\boxed{ \frac{n+2}{2}-\frac n2i }.$$

🧩 Exercício 5 Médio

Teorema de Brahmagupta: Se $a$ e $b$ são números naturais e cada um deles é uma soma de dois quadrados perfeitos, então $a\cdot b$ também é uma soma de dois quadrados perfeitos.

Demonstre esse resultado utilizando números complexos.

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Escreva os números como

$$a^2+b^2 \qquad\text{e}\qquad c^2+d^2.$$

Depois, considere os números complexos

$$z_1=a+bi \qquad\text{e}\qquad z_2=c+di.$$

Lembre-se das propriedades:

$$z\overline z=|z|^2$$

e

$$\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2}.$$

Ideia principal

Queremos provar que o produto de dois números que são soma de dois quadrados também pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Considere:

$$x=a^2+b^2$$

e

$$y=c^2+d^2.$$

Nosso objetivo é mostrar que:

$$xy$$

também pode ser escrito como soma de dois quadrados.

A ferramenta que vamos utilizar é a representação de números complexos.

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Passo 1 — Construindo os números complexos

Considere os números complexos:

$$z_1=a+bi$$

e

$$z_2=c+di.$$

Lembrando que:

$$i^2=-1.$$

Os seus conjugados são:

$$\overline{z_1}=a-bi$$

e

$$\overline{z_2}=c-di.$$

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Passo 2 — Uma propriedade importante do conjugado

Para um número complexo

$$z=a+bi,$$

temos:

$$z\overline z=(a+bi)(a-bi).$$

Usando o produto da soma pela diferença:

$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2,$$

obtemos:

$$(a+bi)(a-bi) = a^2-(bi)^2.$$

Como $i^2=-1$:

$$(bi)^2=b^2i^2=-b^2.$$

Portanto:

$$z\overline z = a^2+b^2.$$

Assim:

$$\boxed{z\overline z=a^2+b^2}.$$

Aplicando isso aos nossos números:

$$\boxed{z_1\overline{z_1}=a^2+b^2}$$

e

$$\boxed{z_2\overline{z_2}=c^2+d^2}.$$

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Passo 3 — Escrevendo o produto

Como

$$x=a^2+b^2$$

e

$$y=c^2+d^2,$$

temos:

$$xy = (z_1\overline{z_1})(z_2\overline{z_2}).$$

Pela propriedade associativa da multiplicação:

$$xy = (z_1z_2) (\overline{z_1}\,\overline{z_2}).$$

Agora usamos a propriedade:

$$\boxed{ \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2} }.$$

Logo:

$$xy = (z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}.$$

Portanto, basta calcular o produto $z_1z_2$.

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Passo 4 — Multiplicando os números complexos

Temos:

$$z_1z_2=(a+bi)(c+di).$$

Aplicando a propriedade distributiva:

$$z_1z_2 = ac+adi+bci+bd i^2.$$

Como $i^2=-1$:

$$z_1z_2 = ac+adi+bci-bd.$$

Agrupando a parte real e a parte imaginária:

$$\boxed{ z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i }.$$

Portanto, o produto é um número complexo cuja:

• parte real é $ac-bd$;
• parte imaginária é $ad+bc$.

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Passo 5 — Calculando o produto pelo conjugado

Para qualquer número complexo da forma

$$z=p+qi,$$

temos:

$$z\overline z=p^2+q^2.$$

No nosso caso:

$$p=ac-bd$$

e

$$q=ad+bc.$$

Assim:

$$(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)} = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

Mas já havíamos mostrado que:

$$xy=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}.$$

Portanto:

$$\boxed{ xy=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 }.$$

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Passo 6 — A identidade de Brahmagupta

Como

$$x=a^2+b^2$$

e

$$y=c^2+d^2,$$

acabamos de demonstrar que:

$$\boxed{ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 }.$$

O lado direito é claramente uma soma de dois quadrados perfeitos.

Logo, se dois números naturais podem ser escritos como soma de dois quadrados, o produto deles também pode.

Portanto:

$$\boxed{ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 }$$

e o Teorema de Brahmagupta está demonstrado.

🧩 Exercício 6 Difícil

Se $\omega^n=1$ e $\omega\neq1$, prove que

$$1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1} = \frac{n}{\omega-1}.$$

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A expressão lembra uma progressão geométrica, mas os coeficientes

$$1,2,3,\ldots,n$$

impedem a aplicação direta da fórmula.

Tente definir a soma como $S$, multiplicá-la por $\omega$ e depois subtrair as duas expressões.

Ideia principal

Definimos

$$S=1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1}.$$

A sacada é utilizar uma ideia semelhante à utilizada na soma de uma progressão geométrica:

1. multiplicar a soma pela razão $\omega$;
2. alinhar os termos;
3. subtrair as duas expressões.

A subtração fará com que os coeficientes intermediários se reduzam a $1$.

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Passo 1 — Definindo a soma

Seja

$$S=1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1}.$$

Multiplicando toda a expressão por $\omega$:

$$\omega S = \omega+2\omega^2+3\omega^3+\cdots+n\omega^n.$$

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Passo 2 — Alinhando os termos

Escrevemos as duas expressões:

$$S= 1+2\omega+3\omega^2+\cdots+(n-1)\omega^{n-2}+n\omega^{n-1}$$

e

$$\omega S= \omega+2\omega^2+3\omega^3+\cdots+(n-1)\omega^{n-1}+n\omega^n.$$

Agora subtraímos a segunda expressão da primeira:

$$S-\omega S=S(1-\omega).$$

---

Passo 3 — Fazendo a subtração

Subtraindo termo a termo:

$$\begin{aligned} S(1-\omega) ={}& 1+(2-1)\omega+(3-2)\omega^2+\cdots \\ &+(n-(n-1))\omega^{n-1}-n\omega^n. \end{aligned}$$

Como

$$2-1=3-2=\cdots=n-(n-1)=1,$$

obtemos:

$$S(1-\omega) = 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}-n\omega^n.$$

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Passo 4 — Usando $\omega^n=1$

Pela hipótese:

$$\omega^n=1.$$

Portanto:

$$n\omega^n=n.$$

Assim:

$$S(1-\omega) = 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}-n.$$

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Passo 5 — Soma das potências de $\omega$

Como $\omega^n=1$ e $\omega\neq1$, temos:

$$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$

De fato, pela soma de uma progressão geométrica:

$$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1} = \frac{1-\omega^n}{1-\omega}.$$

Como $\omega^n=1$:

$$\frac{1-\omega^n}{1-\omega} = \frac{1-1}{1-\omega} = 0.$$

Logo:

$$S(1-\omega)=-n.$$

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Passo 6 — Isolando $S$

Dividindo por $1-\omega$:

$$S=\frac{-n}{1-\omega}.$$

Multiplicando numerador e denominador por $-1$:

$$S=\frac{n}{\omega-1}.$$

Portanto:

$$\boxed{ 1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1} = \frac{n}{\omega-1} }$$

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Resultado

Finalmente,

$$\boxed{ \displaystyle 1+2\omega+3\omega^2+\cdots+n\omega^{n-1} = \frac{n}{\omega-1} }$$

sempre que

$$\omega^n=1 \qquad\text{e}\qquad \omega\neq1.$$

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Insight

A expressão parece inicialmente difícil porque não é uma progressão geométrica comum: além das potências de $\omega$, aparecem os coeficientes

$$1,2,3,\ldots,n.$$

A grande sacada é perceber que multiplicar por $\omega$ desloca todas as potências em uma posição:

$$1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}$$

torna-se

$$\omega,\omega^2,\omega^3,\ldots,\omega^n.$$

Quando subtraímos as duas expressões, os coeficientes consecutivos produzem:

$$2-1=3-2=\cdots=n-(n-1)=1.$$

Assim, uma soma aparentemente complicada transforma-se na soma geométrica:

$$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}.$$

Sacada: em somatórios com coeficientes consecutivos multiplicando potências de uma mesma razão, experimente multiplicar a soma pela razão e subtrair. O deslocamento das potências pode fazer os coeficientes se reduzirem drasticamente.

🧩 Exercício 7 Difícil

Resolva em $\mathbb{C}$:

$$z^2+\frac{9z^2}{(z+3)^2}=-5.$$

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Observe que o termo $(z+3)^2$ pode ser obtido adicionando $6z+9$ aos dois lados da equação.

Depois disso, tente identificar um segundo quadrado perfeito.

Ideia principal

A sacada da questão é completar o quadrado duas vezes.

Primeiro, vamos criar o termo

$$(z+3)^2.$$

Depois, o termo $6z$ permitirá formar um segundo quadrado perfeito.

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Passo 1 — Restrição do domínio

Como temos $(z+3)^2$ no denominador, devemos ter:

$$z+3\neq0.$$

Portanto:

$$\boxed{z\neq-3}.$$

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Passo 2 — Completando o primeiro quadrado

Partimos de:

$$z^2+\frac{9z^2}{(z+3)^2}=-5.$$

Adicionamos $6z+9$ aos dois lados:

$$z^2+6z+9+\frac{9z^2}{(z+3)^2} = -5+6z+9.$$

Como

$$z^2+6z+9=(z+3)^2,$$

e

$$\frac{9z^2}{(z+3)^2} = \left(\frac{3z}{z+3}\right)^2,$$

temos:

$$(z+3)^2+ \left(\frac{3z}{z+3}\right)^2 = 6z+4.$$

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Passo 3 — Identificando o segundo quadrado

Passando $6z$ para o lado esquerdo:

$$(z+3)^2+ \left(\frac{3z}{z+3}\right)^2 -6z = 4.$$

Agora observe que:

$$(z+3)\left(\frac{3z}{z+3}\right)=3z.$$

Logo,

$$2(z+3)\left(\frac{3z}{z+3}\right)=6z.$$

Portanto, podemos escrever:

$$(z+3)^2 + \left(\frac{3z}{z+3}\right)^2 - 2(z+3)\left(\frac{3z}{z+3}\right) =4.$$

Reconhecendo a identidade

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2,$$

obtemos:

$$\boxed{ \left( z+3-\frac{3z}{z+3} \right)^2=4 }.$$

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Passo 4 — Extraindo a raiz

Como estamos trabalhando em $\mathbb{C}$:

$$\left( z+3-\frac{3z}{z+3} \right)^2=2^2.$$

Portanto:

$$z+3-\frac{3z}{z+3}=\pm2.$$

Temos dois casos.

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Caso 1

Considere:

$$z+3-\frac{3z}{z+3}=2.$$

Então:

$$z+1=\frac{3z}{z+3}.$$

Multiplicando por $z+3$:

$$(z+1)(z+3)=3z.$$

Expandindo:

$$z^2+4z+3=3z.$$

Logo:

$$z^2+z+3=0.$$

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$$z= \frac{-1\pm\sqrt{1-12}}{2}.$$

Assim:

$$z= \frac{-1\pm\sqrt{-11}}{2}.$$

Como

$$\sqrt{-11}=i\sqrt{11},$$

obtemos:

$$\boxed{ z=\frac{-1\pm i\sqrt{11}}{2} }.$$

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Caso 2

Agora considere:

$$z+3-\frac{3z}{z+3}=-2.$$

Então:

$$z+5=\frac{3z}{z+3}.$$

Multiplicando por $z+3$:

$$(z+5)(z+3)=3z.$$

Expandindo:

$$z^2+8z+15=3z.$$

Logo:

$$z^2+5z+15=0.$$

Aplicando novamente Bhaskara:

$$z= \frac{-5\pm\sqrt{25-60}}{2}.$$

Portanto:

$$z= \frac{-5\pm\sqrt{-35}}{2}.$$

Como

$$\sqrt{-35}=i\sqrt{35},$$

temos:

$$\boxed{ z=\frac{-5\pm i\sqrt{35}}{2} }.$$

---

Resultado

Reunindo as soluções dos dois casos:

$$\boxed{ z= \frac{-1+i\sqrt{11}}{2}, \quad \frac{-1-i\sqrt{11}}{2}, \quad \frac{-5+i\sqrt{35}}{2}, \quad \frac{-5-i\sqrt{35}}{2} }$$

Nenhuma das soluções é $-3$, portanto todas satisfazem a restrição do problema.

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Insight

O ponto central da questão é perceber que o termo $6z$ não aparece por acaso.

Ao completar o primeiro quadrado,

$$z^2+6z+9=(z+3)^2,$$

surge o termo $6z$.

Por outro lado,

$$6z = 2(z+3)\left(\frac{3z}{z+3}\right).$$

Isso permite reconhecer:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$$

Assim, a expressão complicada se transforma em:

$$\left( z+3-\frac{3z}{z+3} \right)^2=4.$$

Sacada: quando uma questão pede para resolver uma equação racional e aparecem expressões como $(z+3)^2$ e $\frac{9z^2}{(z+3)^2}$, procure uma maneira de fazer essas duas expressões funcionarem como os termos $a^2$ e $b^2$ de um quadrado perfeito.

🧩 Exercício 8 (IME)Difícil

Seja $z$ um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição

$$z^{2n}\neq -1,$$

onde $n$ é um número inteiro positivo.

Demonstre que

$$\frac{z^n}{1+z^{2n}}$$

é um número real.

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Como $z$ possui módulo unitário, podemos escrevê-lo na forma

$$z=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Use a relação de Euler:

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Tente escrever toda a expressão utilizando exponenciais complexas.

Ideia principal

O fato de $z$ ter módulo unitário permite representá-lo na forma

$$z=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Pela relação de Euler,

$$\boxed{z=e^{i\theta}}.$$

A partir daí, podemos transformar a expressão em uma forma que será claramente real.

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Passo 1 — Escrevendo $z$ na forma exponencial

Como $|z|=1$, existe $\theta\in\mathbb{R}$ tal que

$$z=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Pela relação de Euler,

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Portanto:

$$\boxed{z=e^{i\theta}}.$$

Elevando ambos os lados à potência $n$:

$$z^n=e^{in\theta}.$$

Da mesma forma:

$$z^{2n}=e^{i2n\theta}.$$

Assim, a expressão que queremos analisar é

$$\frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{e^{in\theta}} {1+e^{i2n\theta}}.$$

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Passo 2 — Simplificando a fração

Agora vem a ideia principal.

Vamos dividir o numerador e o denominador por $e^{in\theta}$:

$$\frac{e^{in\theta}} {1+e^{i2n\theta}} = \frac{1} {e^{-in\theta}+e^{in\theta}}.$$

De fato, no denominador:

$$\frac{1}{e^{in\theta}} + \frac{e^{i2n\theta}}{e^{in\theta}} = e^{-in\theta}+e^{in\theta}.$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{1} {e^{-in\theta}+e^{in\theta}} }.$$

Agora precisamos mostrar que o denominador é real.

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Passo 3 — Mostrando que $e^{in\theta}+e^{-in\theta}$ é real

Pela relação de Euler:

$$e^{in\theta} = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$

Para o expoente negativo:

$$e^{-in\theta} = \cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta).$$

Sabemos que o cosseno é uma função par:

$$\cos(-n\theta)=\cos(n\theta),$$

e o seno é uma função ímpar:

$$\sin(-n\theta)=-\sin(n\theta).$$

Logo:

$$e^{-in\theta} = \cos(n\theta)-i\sin(n\theta).$$

Agora somamos:

$$\begin{aligned} e^{in\theta}+e^{-in\theta} &= [\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]\\ &\quad+ [\cos(n\theta)-i\sin(n\theta)]. \end{aligned}$$

Os termos imaginários se cancelam:

$$e^{in\theta}+e^{-in\theta} = 2\cos(n\theta).$$

Portanto:

$$\boxed{ e^{in\theta}+e^{-in\theta}=2\cos(n\theta) }.$$

---

Passo 4 — Voltando para a expressão original

Já havíamos obtido:

$$\frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{1} {e^{-in\theta}+e^{in\theta}}.$$

Como:

$$e^{-in\theta}+e^{in\theta} = 2\cos(n\theta),$$

temos:

$$\frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{1}{2\cos(n\theta)}.$$

Ou seja:

$$\boxed{ \frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{1}{2\cos(n\theta)} }.$$

Como $\cos(n\theta)$ é um número real, concluímos que a expressão é real.

Portanto:

$$\boxed{ \frac{z^n}{1+z^{2n}}\in\mathbb{R} }.$$

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Por que a condição $z^{2n}\neq-1$?

A condição dada no problema é

$$z^{2n}\neq-1.$$

Ela garante que o denominador da expressão original não seja zero:

$$1+z^{2n}\neq0.$$

Na nossa forma simplificada, isso corresponde a:

$$2\cos(n\theta)\neq0.$$

Assim, a divisão por $2\cos(n\theta)$ é válida.

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Conclusão

Partindo de

$$z=e^{i\theta},$$

transformamos a expressão:

$$\frac{z^n}{1+z^{2n}} = \frac{e^{in\theta}} {1+e^{i2n\theta}} = \frac{1} {e^{-in\theta}+e^{in\theta}} = \frac{1}{2\cos(n\theta)}.$$

Como o resultado final é um número real:

$$\boxed{ \frac{z^n}{1+z^{2n}}\text{ é real.} }$$

🧩 Exercício 9 (KVANT)Difícil

Resolva o sistema de equações:

$$\begin{cases} x+\left(\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}\right)=3\\[8pt] y-\left(\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}\right)=0 \end{cases}$$

💡 Dica — clique para visualizar

Considere

$$z=x+iy.$$

Multiplique a segunda equação por $i$ e some-a à primeira.

Tente escrever toda a expressão em função de $z$, $\overline z$ e $|z|^2$.

Lembre-se de que:

$$|z|^2=z\overline z.$$

Ideia principal

O sistema possui expressões com $x^2+y^2$ no denominador. Isso sugere utilizar o número complexo

$$\boxed{z=x+iy}.$$

Nesse caso:

$$\boxed{|z|^2=x^2+y^2}.$$

A estratégia será transformar as duas equações em uma única equação envolvendo $z$ e, depois, obter uma equação do segundo grau em $z$.

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Passo 1 — Multiplicando a segunda equação por $i$

O sistema é:

$$\begin{cases} x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3\\[8pt] y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0. \end{cases}$$

Multiplicamos a segunda equação por $i$:

$$iy-\frac{i(x+3y)}{x^2+y^2}=0.$$

Agora somamos essa equação à primeira:

$$x+iy+ \frac{(3x-y)-i(x+3y)} {x^2+y^2} =3.$$

Como

$$x+iy=z$$

e

$$x^2+y^2=|z|^2,$$

temos:

$$z+ \frac{(3x-y)-i(x+3y)} {|z|^2} =3.$$

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Passo 2 — Reescrevendo o numerador com números complexos

Queremos reconhecer:

$$(3x-y)-i(x+3y).$$

Como

$$\overline z=x-iy,$$

considere:

$$(3-i)\overline z.$$

Desenvolvendo:

$$(3-i)(x-iy).$$

Aplicando a distributiva:

$$=3x-3iy-ix+i^2y.$$

Como

$$i^2=-1,$$

obtemos:

$$=3x-y-i(x+3y).$$

Portanto:

$$\boxed{ (3x-y)-i(x+3y)=(3-i)\overline z }.$$

Assim, a equação anterior se transforma em:

$$z+\frac{(3-i)\overline z}{|z|^2}=3.$$

---

Passo 3 — Eliminando o conjugado

Sabemos que:

$$\boxed{|z|^2=z\overline z}.$$

Como o enunciado considera $z$ não nulo, podemos escrever:

$$\frac{\overline z}{|z|^2} = \frac{\overline z}{z\overline z}.$$

Cancelando $\overline z$:

$$\frac{\overline z}{|z|^2} = \frac1z.$$

Portanto:

$$z+\frac{3-i}{z}=3.$$

Multiplicando toda a equação por $z$:

$$z^2+3-i=3z.$$

Reorganizando:

$$\boxed{z^2-3z+3-i=0}.$$

Chegamos a uma equação do segundo grau em $z$.

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Passo 4 — Aplicando a fórmula de Bhaskara

Para:

$$z^2-3z+3-i=0,$$

temos:

$$a=1,\qquad b=-3,\qquad c=3-i.$$

O discriminante é:

$$\Delta=b^2-4ac.$$

Logo:

$$\Delta=(-3)^2-4(1)(3-i).$$

Então:

$$\Delta=9-12+4i,$$

isto é:

$$\boxed{\Delta=-3+4i}.$$

---

Passo 5 — Encontrando a raiz do discriminante

Precisamos calcular:

$$\sqrt{-3+4i}.$$

Observe que:

$$(1+2i)^2 = 1+4i+4i^2.$$

Como

$$i^2=-1,$$

temos:

$$(1+2i)^2 = 1+4i-4 = -3+4i.$$

Portanto:

$$\boxed{\sqrt{-3+4i}=1+2i}.$$

Assim, pela fórmula de Bhaskara:

$$z= \frac{3\pm(1+2i)}2.$$

---

Passo 6 — Encontrando as soluções

Para o sinal positivo:

$$z_1= \frac{3+1+2i}{2}.$$

Logo:

$$\boxed{z_1=2+i}.$$

Para o sinal negativo:

$$z_2= \frac{3-1-2i}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{z_2=1-i}.$$

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Resultado

As soluções do sistema são:

$$\boxed{z=2+i}$$

ou

$$\boxed{z=1-i}.$$

Portanto, em termos de $(x,y)$:

$$\boxed{(x,y)=(2,1)}$$

ou

$$\boxed{(x,y)=(1,-1)}.$$

🧩 Exercício 10 (EUA)Difícil

Ache todos os números complexos $z$ tais que

$$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)=2.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Evite expandir diretamente o produto dos quatro fatores.

Agrupe os fatores convenientemente e utilize a identidade:

$$\boxed{ AB=\frac{(A+B)^2-(A-B)^2}{4} }.$$

Uma boa escolha é definir:

$$A=(3z+1)(12z+1)$$

e

$$B=(4z+1)(6z+1).$$

Depois, observe que $A-B$ e $A+B$ podem ser escritos em função de uma mesma expressão.

Ideia principal

A expansão direta dos quatro fatores produziria uma equação de quarto grau.

Podemos evitar isso agrupando os fatores de maneira estratégica:

$$A=(3z+1)(12z+1)$$

e

$$B=(4z+1)(6z+1).$$

A equação original passa a ser simplesmente:

$$AB=2.$$

A partir daí, vamos trabalhar com $A+B$ e $A-B$.

---

Passo 1 — Calculando $A$ e $B$

Temos:

$$A=(3z+1)(12z+1).$$

Desenvolvendo:

$$A=36z^2+15z+1.$$

Da mesma forma:

$$B=(4z+1)(6z+1),$$

portanto:

$$B=24z^2+10z+1.$$

---

Passo 2 — Calculando $A-B$

Subtraindo:

$$A-B = (36z^2+15z+1)-(24z^2+10z+1).$$

Logo:

$$A-B=12z^2+5z.$$

Vamos definir:

$$\boxed{t=12z^2+5z}.$$

Assim:

$$\boxed{A-B=t}.$$

---

Passo 3 — Calculando $A+B$

Agora somamos:

$$A+B = 36z^2+15z+1+24z^2+10z+1.$$

Então:

$$A+B=60z^2+25z+2.$$

Como

$$t=12z^2+5z,$$

multiplicando essa expressão por $5$:

$$5t=60z^2+25z.$$

Portanto:

$$\boxed{A+B=5t+2}.$$

---

Passo 4 — Usando uma identidade algébrica

Sabemos que:

$$(A+B)^2-(A-B)^2=4AB.$$

Portanto:

$$\boxed{ AB=\frac{(A+B)^2-(A-B)^2}{4} }.$$

Como a equação original fornece:

$$AB=2,$$

temos:

$$2= \frac{(A+B)^2-(A-B)^2}{4}.$$

Substituindo:

$$A+B=5t+2$$

e

$$A-B=t,$$

obtemos:

$$2= \frac{(5t+2)^2-t^2}{4}.$$

Multiplicando por $4$:

$$8=(5t+2)^2-t^2.$$

---

Passo 5 — Encontrando $t$

Desenvolvendo:

$$8=25t^2+20t+4-t^2.$$

Logo:

$$8=24t^2+20t+4.$$

Dividindo tudo por $4$:

$$2=6t^2+5t+1.$$

Reorganizando:

$$6t^2+5t-1=0.$$

Fatorando:

$$(6t-1)(t+1)=0.$$

Assim:

$$\boxed{t=\frac16}$$

ou

$$\boxed{t=-1}.$$

---

Passo 6 — Voltando para $z$

Lembramos que:

$$t=12z^2+5z.$$

Caso 1: $t=\frac16$

Temos:

$$12z^2+5z=\frac16.$$

Multiplicando por $6$:

$$72z^2+30z=1.$$

Logo:

$$72z^2+30z-1=0.$$

Aplicando Bhaskara:

$$z= \frac{-30\pm\sqrt{30^2-4(72)(-1)}}{144}.$$

Então:

$$z= \frac{-30\pm\sqrt{1188}}{144}.$$

Como:

$$1188=36\cdot33,$$

temos:

$$\sqrt{1188}=6\sqrt{33}.$$

Portanto:

$$\boxed{ z=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{24} }.$$

---

Caso 2: $t=-1$

Temos:

$$12z^2+5z=-1.$$

Logo:

$$12z^2+5z+1=0.$$

Aplicando Bhaskara:

$$z= \frac{-5\pm\sqrt{25-48}}{24}.$$

Assim:

$$z= \frac{-5\pm\sqrt{-23}}{24}.$$

Como:

$$\sqrt{-23}=i\sqrt{23},$$

obtemos:

$$\boxed{ z=\frac{-5\pm i\sqrt{23}}{24} }.$$

---

Resultado

Portanto, todos os números complexos que satisfazem a equação são:

$$\boxed{ z=\frac{-5+\sqrt{33}}{24}, \quad z=\frac{-5-\sqrt{33}}{24}, \quad z=\frac{-5+i\sqrt{23}}{24}, \quad z=\frac{-5-i\sqrt{23}}{24} }.$$