As matrizes são estruturas matemáticas utilizadas para organizar números, informações e relações de maneira sistemática.
Elas aparecem em diversas áreas da Matemática e também possuem aplicações em Física, Engenharia, Computação, Estatística e Economia.
Neste tópico, vamos estudar os conceitos fundamentais de matrizes, sua representação, classificação, operações e algumas relações importantes.
1. Conceito de matriz
Uma matriz é uma tabela retangular formada por números ou outros elementos matemáticos, organizados em linhas e colunas .
Por exemplo:
A = ( 2 5 1 3 0 − 2 ) A=
\begin{pmatrix}
2 & 5 & 1\\
3 & 0 & -2
\end{pmatrix} A = ( 2 3 5 0 1 − 2 ) Essa matriz possui:
Dizemos, portanto, que A A A ordem 2 × 3 2\times3 2 × 3 .
Atenção: a ordem de uma matriz é dada por
n u ˊ mero de linhas × n u ˊ mero de colunas \boxed{\text{número de linhas}\times\text{número de colunas}} n u ˊ mero de linhas × n u ˊ mero de colunas
2. Representação de uma matriz
Uma matriz genérica pode ser representada por:
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) . A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}. A = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a mn . Podemos escrever simplesmente:
A = ( a i j ) m × n \boxed{A=(a_{ij})_{m\times n}} A = ( a ij ) m × n onde:
i i i linha ;j j j coluna ;m m m n n n
Assim, a i j a_{ij} a ij linha i i i j j j .
Exemplo
Considere:
A = ( 4 7 2 1 5 8 ) . A=
\begin{pmatrix}
4 & 7 & 2\\
1 & 5 & 8
\end{pmatrix}. A = ( 4 1 7 5 2 8 ) . Temos:
a 11 = 4 , a 12 = 7 , a 13 = 2 , a_{11}=4,
\qquad
a_{12}=7,
\qquad
a_{13}=2, a 11 = 4 , a 12 = 7 , a 13 = 2 , a 21 = 1 , a 22 = 5 , a 23 = 8. a_{21}=1,
\qquad
a_{22}=5,
\qquad
a_{23}=8. a 21 = 1 , a 22 = 5 , a 23 = 8. 3. Igualdade de matrizes
Duas matrizes são iguais quando:
possuem a mesma ordem ;
seus elementos correspondentes são iguais.
Se
A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a ij ) e
B = ( b i j ) , B=(b_{ij}), B = ( b ij ) , então:
A = B ⟺ a i j = b i j \boxed{A=B\iff a_{ij}=b_{ij}} A = B ⟺ a ij = b ij para todos os elementos correspondentes.
Exemplo
Se
A = ( x 3 5 y ) A=
\begin{pmatrix}
x & 3\\
5 & y
\end{pmatrix} A = ( x 5 3 y ) e
B = ( 2 3 5 7 ) , B=
\begin{pmatrix}
2 & 3\\
5 & 7
\end{pmatrix}, B = ( 2 5 3 7 ) , então A = B A=B A = B
x = 2 x=2 x = 2 e
y = 7. y=7. y = 7. 4. Matrizes especiais
Existem algumas matrizes que aparecem frequentemente nos problemas.
4.1 Matriz linha
É uma matriz que possui apenas uma linha .
Exemplo:
A = ( 2 4 7 ) . A=
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 7
\end{pmatrix}. A = ( 2 4 7 ) . Sua ordem é:
1 × 3. 1\times3. 1 × 3. 4.2 Matriz coluna
É uma matriz que possui apenas uma coluna .
Exemplo:
B = ( 2 4 7 ) . B=
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
7
\end{pmatrix}. B = 2 4 7 . Sua ordem é:
3 × 1. 3\times1. 3 × 1. 4.3 Matriz quadrada
É aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas.
Exemplo:
A = ( 1 2 3 4 ) . A=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}. A = ( 1 3 2 4 ) . Ela é uma matriz de ordem 2 2 2
Outro exemplo:
B = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) . B=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{pmatrix}. B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 . Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 3 3
4.4 Matriz nula
É a matriz cujos elementos são todos iguais a zero.
Exemplo:
A = ( 0 0 0 0 ) . A=
\begin{pmatrix}
0&0\\
0&0
\end{pmatrix}. A = ( 0 0 0 0 ) . 4.5 Matriz identidade
A matriz identidade é uma matriz quadrada na qual os elementos da diagonal principal são iguais a 1 1 1 0 0 0
A identidade de ordem 3 3 3
I 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) . I_3=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}. I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . De maneira geral:
I n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) . I_n=
\begin{pmatrix}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1
\end{pmatrix}. I n = 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 1 . A matriz identidade possui papel semelhante ao número 1 1 1
4.6 Matriz diagonal
É uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo:
A = ( 3 0 0 0 5 0 0 0 8 ) . A=
\begin{pmatrix}
3&0&0\\
0&5&0\\
0&0&8
\end{pmatrix}. A = 3 0 0 0 5 0 0 0 8 . 4.7 Matriz triangular superior
Uma matriz triangular superior possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero .
Exemplo:
A = ( 2 4 7 0 3 5 0 0 6 ) . A=
\begin{pmatrix}
2&4&7\\
0&3&5\\
0&0&6
\end{pmatrix}. A = 2 0 0 4 3 0 7 5 6 . 4.8 Matriz triangular inferior
Uma matriz triangular inferior possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero .
Exemplo:
A = ( 2 0 0 4 3 0 7 5 6 ) . A=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
4&3&0\\
7&5&6
\end{pmatrix}. A = 2 4 7 0 3 5 0 0 6 . 5. Diagonal principal e diagonal secundária
Considere uma matriz quadrada:
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) . A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}. A = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 . A diagonal principal é formada pelos elementos:
a 11 , a 22 , a 33 . a_{11},a_{22},a_{33}. a 11 , a 22 , a 33 . Ou seja:
a 11 , a 22 , … , a n n . \boxed{a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}}. a 11 , a 22 , … , a nn . Já a diagonal secundária é formada por:
a 13 , a 22 , a 31 . a_{13},a_{22},a_{31}. a 13 , a 22 , a 31 . De forma geral:
a 1 n , a 2 , n − 1 , … , a n 1 . \boxed{a_{1n},a_{2,n-1},\ldots,a_{n1}}. a 1 n , a 2 , n − 1 , … , a n 1 . 6. Adição e subtração de matrizes
Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas quando possuem a mesma ordem .
Se
A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a ij ) e
B = ( b i j ) , B=(b_{ij}), B = ( b ij ) , então:
A + B = ( a i j + b i j ) . \boxed{A+B=(a_{ij}+b_{ij})}. A + B = ( a ij + b ij ) . A operação é realizada elemento por elemento.
Exemplo
Se
A = ( 1 2 3 4 ) A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix} A = ( 1 3 2 4 ) e
B = ( 5 6 7 8 ) , B=
\begin{pmatrix}
5&6\\
7&8
\end{pmatrix}, B = ( 5 7 6 8 ) , então:
A + B = ( 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8 ) A+B=
\begin{pmatrix}
1+5&2+6\\
3+7&4+8
\end{pmatrix} A + B = ( 1 + 5 3 + 7 2 + 6 4 + 8 ) e, portanto:
A + B = ( 6 8 10 12 ) . \boxed{
A+B=
\begin{pmatrix}
6&8\\
10&12
\end{pmatrix}
}. A + B = ( 6 10 8 12 ) . 7. Multiplicação de uma matriz por um número
Para multiplicar uma matriz por um número real, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Se λ ∈ R \lambda\in\mathbb R λ ∈ R
λ A = ( λ a i j ) . \boxed{\lambda A=(\lambda a_{ij})}. λ A = ( λ a ij ) . Exemplo
A = ( 1 2 3 4 ) . A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
3&4
\end{pmatrix}. A = ( 1 3 2 4 ) . Então:
3 A = ( 3 6 9 12 ) . 3A=
\begin{pmatrix}
3&6\\
9&12
\end{pmatrix}. 3 A = ( 3 9 6 12 ) . 8. Transposta de uma matriz
A matriz transposta de A A A A T A^T A T
Se:
A = ( 1 2 3 4 5 6 ) , A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6
\end{pmatrix}, A = ( 1 4 2 5 3 6 ) , então:
A T = ( 1 4 2 5 3 6 ) . A^T=
\begin{pmatrix}
1&4\\
2&5\\
3&6
\end{pmatrix}. A T = 1 2 3 4 5 6 . Assim, se A A A m × n m\times n m × n
A T e ˊ uma matriz n × m . \boxed{A^T\text{ é uma matriz }n\times m}. A T e ˊ uma matriz n × m . Uma relação fundamental é:
( A T ) T = A . \boxed{(A^T)^T=A}. ( A T ) T = A . Além disso:
( A + B ) T = A T + B T . \boxed{(A+B)^T=A^T+B^T}. ( A + B ) T = A T + B T . 9. Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes possui uma regra diferente da adição.
Considere:
A m × n A_{m\times n} A m × n e
B n × p . B_{n\times p}. B n × p . O produto A B AB A B
m × p . \boxed{m\times p}. m × p . Observe que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda .
( m × n ) ( n × p ) = m × p \boxed{
(m\times\color{blue}{n})
(\color{blue}{n}\times p)
=
m\times p
} ( m × n ) ( n × p ) = m × p
A multiplicação de matrizes é possível quando as dimensões "do meio" são iguais.
9.1 Regra do produto
Se:
A = ( a b c d ) A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix} A = ( a c b d ) e
B = ( e f g h ) , B=
\begin{pmatrix}
e&f\\
g&h
\end{pmatrix}, B = ( e g f h ) , então:
A B = ( a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ) . AB=
\begin{pmatrix}
ae+bg&af+bh\\
ce+dg&cf+dh
\end{pmatrix}. A B = ( a e + b g ce + d g a f + bh c f + d h ) . Cada elemento do produto é obtido multiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda e somando os resultados.
10. Uma propriedade muito importante: A B ≠ B A AB\neq BA A B = B A
Diferentemente da multiplicação de números reais, a multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa .
Ou seja:
A B ≠ B A \boxed{AB\neq BA} A B = B A em geral.
Pode acontecer de, para determinadas matrizes,
A B = B A , AB=BA, A B = B A , mas isso não é uma propriedade geral.
Também pode acontecer de A B AB A B B A BA B A
11. Propriedades da multiplicação
Quando os produtos estão definidos, temos:
Associatividade
( A B ) C = A ( B C ) \boxed{(AB)C=A(BC)} ( A B ) C = A ( B C ) Distributividade
A ( B + C ) = A B + A C \boxed{A(B+C)=AB+AC} A ( B + C ) = A B + A C e
( A + B ) C = A C + B C . \boxed{(A+B)C=AC+BC}. ( A + B ) C = A C + B C . Elemento neutro
Para uma matriz quadrada A A A
A I = I A = A . \boxed{AI=IA=A}. A I = I A = A . Aqui, I I I A A A
12. Potência de uma matriz
Para uma matriz quadrada A A A
A 2 = A ⋅ A , A^2=A\cdot A, A 2 = A ⋅ A , A 3 = A ⋅ A ⋅ A , A^3=A\cdot A\cdot A, A 3 = A ⋅ A ⋅ A , e, de maneira geral:
A n = A ⋅ A ⋯ A ⏟ n fatores . \boxed{A^n=
\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n\text{ fatores}}}. A n = n fatores A ⋅ A ⋯ A . Além disso:
A 0 = I . A^0=I. A 0 = I . 13. Matriz inversa
Uma matriz quadrada A A A A − 1 A^{-1} A − 1
A A − 1 = A − 1 A = I . \boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}. A A − 1 = A − 1 A = I . A matriz inversa desempenha um papel semelhante ao inverso multiplicativo de um número.
Por exemplo, para números:
5 ⋅ 1 5 = 1. 5\cdot\frac15=1. 5 ⋅ 5 1 = 1. Para matrizes:
A ⋅ A − 1 = I . A\cdot A^{-1}=I. A ⋅ A − 1 = I .
Nem toda matriz quadrada possui inversa.
14. Determinante
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada .
Para uma matriz de ordem 2 2 2
A = ( a b c d ) , A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}, A = ( a c b d ) , seu determinante é:
det ( A ) = a d − b c . \boxed{\det(A)=ad-bc}. det ( A ) = a d − b c . Também podemos escrever:
∣ a b c d ∣ = a d − b c . \boxed{
\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\end{vmatrix}
=ad-bc
}. a c b d = a d − b c . 15. Determinante de uma matriz triangular
Se uma matriz é triangular, seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Por exemplo:
A = ( 2 5 7 0 3 4 0 0 6 ) . A=
\begin{pmatrix}
2&5&7\\
0&3&4\\
0&0&6
\end{pmatrix}. A = 2 0 0 5 3 0 7 4 6 . Então:
det ( A ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 6. \det(A)=2\cdot3\cdot6. det ( A ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 6. Logo:
det ( A ) = 36 . \boxed{\det(A)=36}. det ( A ) = 36 . Essa propriedade é extremamente útil para simplificar cálculos.
16. Determinante e matriz inversa
Uma matriz quadrada A A A
det ( A ) ≠ 0 . \boxed{\det(A)\neq0}. det ( A ) = 0 . Portanto:
det ( A ) = 0 ⟺ A n a ˜ o possui inversa \boxed{
\det(A)=0
\iff
A\text{ não possui inversa}
} det ( A ) = 0 ⟺ A n a ˜ o possui inversa e
det ( A ) ≠ 0 ⟺ A possui inversa . \boxed{
\det(A)\neq0
\iff
A\text{ possui inversa}
}. det ( A ) = 0 ⟺ A possui inversa . 17. Relações fundamentais dos determinantes
Algumas propriedades fundamentais:
Troca de duas linhas
Ao trocar duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal.
D ′ = − D \boxed{D'=-D} D ′ = − D Multiplicação de uma linha por um número
Se multiplicamos uma linha por λ \lambda λ λ \lambda λ
Adição de uma linha a outra
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante .
Por exemplo:
L 2 ← L 2 + 3 L 1 . L_2\leftarrow L_2+3L_1. L 2 ← L 2 + 3 L 1 . O determinante permanece igual.
Linha ou coluna nula
Se uma matriz possui uma linha ou coluna formada inteiramente por zeros:
det ( A ) = 0 . \boxed{\det(A)=0}. det ( A ) = 0 . Linhas ou colunas iguais
Se duas linhas ou duas colunas são iguais:
det ( A ) = 0 . \boxed{\det(A)=0}. det ( A ) = 0 . Linhas ou colunas proporcionais
Se duas linhas ou duas colunas são proporcionais:
det ( A ) = 0 . \boxed{\det(A)=0}. det ( A ) = 0 . 18. Relação entre determinante e transposta
Uma propriedade importante é:
det ( A T ) = det ( A ) . \boxed{\det(A^T)=\det(A)}. det ( A T ) = det ( A ) . Portanto, transpor uma matriz não altera o valor de seu determinante.
19. Determinante de um produto
Se A A A B B B
det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) . \boxed{\det(AB)=\det(A)\det(B)}. det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) . Essa relação é fundamental.
Como consequência, se A A A
A A − 1 = I . AA^{-1}=I. A A − 1 = I . Aplicando o determinante:
det ( A ) det ( A − 1 ) = det ( I ) . \det(A)\det(A^{-1})=\det(I). det ( A ) det ( A − 1 ) = det ( I ) . Como:
det ( I ) = 1 , \det(I)=1, det ( I ) = 1 , temos:
det ( A − 1 ) = 1 det ( A ) . \boxed{
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}
}. det ( A − 1 ) = det ( A ) 1 . 20. Matriz simétrica
Uma matriz quadrada é chamada de simétrica quando:
A T = A . \boxed{A^T=A}. A T = A . Isso significa que os elementos são simétricos em relação à diagonal principal.
Exemplo:
A = ( 2 3 5 3 4 6 5 6 7 ) . A=
\begin{pmatrix}
2&3&5\\
3&4&6\\
5&6&7
\end{pmatrix}. A = 2 3 5 3 4 6 5 6 7 . Observe que:
a 12 = a 21 , a_{12}=a_{21}, a 12 = a 21 , a 13 = a 31 , a_{13}=a_{31}, a 13 = a 31 , a 23 = a 32 . a_{23}=a_{32}. a 23 = a 32 . Logo, A A A
21. Sistemas lineares e matrizes
As matrizes também podem ser utilizadas para representar sistemas de equações.
Considere o sistema:
{ 2 x + y = 5 x − y = 1 \begin{cases}
2x+y=5\\
x-y=1
\end{cases} { 2 x + y = 5 x − y = 1 Podemos escrevê-lo na forma matricial:
( 2 1 1 − 1 ) ( x y ) = ( 5 1 ) . \begin{pmatrix}
2&1\\
1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}. ( 2 1 1 − 1 ) ( x y ) = ( 5 1 ) . Ou simplesmente:
A X = B . \boxed{AX=B}. A X = B . Quando A A A
A X = B . AX=B. A X = B . Multiplicando os dois lados por A − 1 A^{-1} A − 1
A − 1 A X = A − 1 B . A^{-1}AX=A^{-1}B. A − 1 A X = A − 1 B . Como:
A − 1 A = I , A^{-1}A=I, A − 1 A = I , temos:
I X = A − 1 B . IX=A^{-1}B. I X = A − 1 B . Logo:
X = A − 1 B . \boxed{X=A^{-1}B}. X = A − 1 B . 22. Resumo das relações fundamentais
As principais relações que devemos memorizar são:
Ordem
A m × n A_{m\times n} A m × n possui m m m n n n
Transposta
( A T ) T = A \boxed{(A^T)^T=A} ( A T ) T = A Soma
A + B = B + A \boxed{A+B=B+A} A + B = B + A Multiplicação
( A B ) C = A ( B C ) \boxed{(AB)C=A(BC)} ( A B ) C = A ( B C ) mas, em geral:
A B ≠ B A . \boxed{AB\neq BA}. A B = B A . Distributividade
A ( B + C ) = A B + A C \boxed{A(B+C)=AB+AC} A ( B + C ) = A B + A C Identidade
A I = I A = A \boxed{AI=IA=A} A I = I A = A Inversa
A A − 1 = A − 1 A = I \boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I} A A − 1 = A − 1 A = I Determinante
det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) \boxed{\det(AB)=\det(A)\det(B)} det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) Transposta
det ( A T ) = det ( A ) \boxed{\det(A^T)=\det(A)} det ( A T ) = det ( A ) Invertibilidade
det ( A ) ≠ 0 ⟺ A − 1 existe \boxed{\det(A)\neq0\iff A^{-1}\text{ existe}} det ( A ) = 0 ⟺ A − 1 existe Matriz simétrica
A T = A . \boxed{A^T=A}. A T = A . 23. Ideia central
Uma boa maneira de enxergar as matrizes é pensar nelas como objetos que organizam informações e permitem realizar operações sobre várias quantidades simultaneamente .
As ideias fundamentais podem ser resumidas em:
Matriz ⟶ Opera c ¸ o ˜ es ⟶ Determinante ⟶ Inversa ⟶ Sistemas Lineares \boxed{
\text{Matriz}
\longrightarrow
\text{Operações}
\longrightarrow
\text{Determinante}
\longrightarrow
\text{Inversa}
\longrightarrow
\text{Sistemas Lineares}
} Matriz ⟶ Opera c ¸ o ˜ es ⟶ Determinante ⟶ Inversa ⟶ Sistemas Lineares O domínio desses conceitos é a base para tópicos mais avançados, como espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores .