Ângulos Adjacentes

Dois ângulos são adjacentes quando possuem:

• o mesmo vértice;
• um lado em comum;
• regiões internas que não possuem pontos em comum.

Em outras palavras, são ângulos que ficam lado a lado, compartilhando um dos seus lados.

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📐 Entendendo a ideia

Considere:

        C
       /
      /
     / β
    B────────→
     \ α
      \
       \
        A

Os ângulos $\alpha$ e $\beta$ possuem um lado em comum.

Para visualizar melhor, podemos representar:

        C
       /
      /
     / β
    B────────→D
     \ α
      \
       \
        A 

Os dois ângulos possuem o mesmo vértice $B$ e compartilham um lado.

O conceito principal é:

$$\boxed{\text{mesmo vértice + lado comum + interiores não sobrepostos}}$$

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Elementos dos ângulos adjacentes

Para que dois ângulos sejam adjacentes, precisamos verificar três condições.

1. Mesmo vértice

Os dois ângulos devem possuir o mesmo vértice.

Por exemplo:

$$\angle ABC$$

e:

$$\angle CBD$$

possuem o mesmo vértice:

$$\boxed{B}$$

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2. Um lado em comum

Os ângulos devem compartilhar exatamente um lado.

Nos ângulos:

$$\angle ABC$$

e:

$$\angle CBD$$

o lado comum é:

$$\overrightarrow{BC}$$

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3. Regiões internas não sobrepostas

Os interiores dos dois ângulos não podem ocupar a mesma região.

Eles devem ficar lado a lado.

Essa condição é importante para diferenciar ângulos adjacentes de outros ângulos que possuem apenas o mesmo vértice ou um lado em comum.

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Exemplo de ângulos adjacentes

Considere:

        C
       /
      /
     /
    B •────────→ A
     \
      \
       \
        D

Os ângulos:

$$\angle CBA$$

e:

$$\angle ABD$$

possuem:

• vértice $B$ em comum;
• lado $\overrightarrow{BA}$ em comum;
• interiores que não se sobrepõem.

Portanto, são adjacentes.

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Ângulos adjacentes e soma das medidas

Uma característica importante é que ângulos adjacentes não precisam necessariamente somar $90^\circ$ ou $180^\circ$.

Por exemplo:

$$30^\circ+40^\circ=70^\circ$$

Esses dois ângulos podem ser adjacentes mesmo que sua soma seja $70^\circ$.

Portanto:

Ser adjacente é uma relação de posição geométrica, e não uma condição sobre a soma das medidas.

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Ângulos adjacentes complementares

Dois ângulos podem ser simultaneamente:

• adjacentes;
• complementares.

Isso acontece quando são adjacentes e a soma de suas medidas é:

$$90^\circ$$

Por exemplo:

$$30^\circ+60^\circ=90^\circ$$

Se esses ângulos forem adjacentes, podemos dizer que são ângulos adjacentes complementares.

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Ângulos adjacentes suplementares

Dois ângulos também podem ser simultaneamente:

• adjacentes;
• suplementares.

Nesse caso, além de serem adjacentes, a soma das medidas é:

$$180^\circ$$

Por exemplo:

$$70^\circ+110^\circ=180^\circ$$

Se os lados externos formarem uma reta, esses ângulos formam um par linear.

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Par linear

Um par linear é formado por dois ângulos adjacentes cujos lados não comuns são semirretas opostas.

Considere:

A ←──────── B ────────→ C
            /
           /
          D

Podemos considerar os ângulos:

$$\angle ABD$$

e:

$$\angle DBC$$

Eles são adjacentes porque possuem:

• vértice $B$;
• lado $\overrightarrow{BD}$ em comum;
• interiores que não se sobrepõem.

Além disso, $\overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{BC}$ são semirretas opostas.

Portanto, formam um par linear.

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Soma dos ângulos de um par linear

Como os lados externos formam uma reta, temos um ângulo raso:

$$180^\circ$$

Assim:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

Por exemplo, se:

$$\alpha=75^\circ$$

então:

$$\beta=180^\circ-75^\circ$$ $$\boxed{\beta=105^\circ}$$

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Ângulos adjacentes x ângulos complementares

É importante diferenciar esses conceitos.

Ângulos adjacentes

A definição depende da posição geométrica.

Eles precisam:

• ter o mesmo vértice;
• possuir um lado em comum;
• não sobrepor seus interiores.

Ângulos complementares

A definição depende da soma das medidas:

$$\alpha+\beta=90^\circ$$

Portanto, dois ângulos podem ser:

• adjacentes, mas não complementares;
• complementares, mas não adjacentes;
• simultaneamente adjacentes e complementares.

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Ângulos adjacentes x ângulos suplementares

Da mesma forma:

Adjacentes

Dependem da posição.

Suplementares

Dependem da soma:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Dois ângulos podem ser suplementares sem serem adjacentes.

Por exemplo, dois ângulos de $60^\circ$ e $120^\circ$ podem estar desenhados em posições diferentes e ainda assim serem suplementares.

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Como identificar ângulos adjacentes

Em uma questão, siga esta sequência:

Passo 1 — Verifique o vértice

Os dois ângulos possuem o mesmo vértice?

Se não, não são adjacentes.

Passo 2 — Verifique o lado comum

Eles possuem um lado em comum?

Se não, não são adjacentes.

Passo 3 — Verifique os interiores

As regiões internas estão lado a lado e não se sobrepõem?

Se sim, os ângulos podem ser adjacentes.

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Exemplo 1

Considere os ângulos:

$$\angle ABC$$

e:

$$\angle CBD$$

Eles possuem o mesmo vértice $B$ e o lado $\overrightarrow{BC}$ em comum. Seus interiores não se sobrepõem.

Eles são adjacentes?

Ver solução

Resolução

Vamos verificar as três condições.

1. Mesmo vértice:

Ambos possuem vértice $B$.

2. Lado comum:

O lado comum é:

$$\overrightarrow{BC}$$

3. Interiores não sobrepostos:

Os dois ângulos ficam lado a lado.

Portanto:

$$\boxed{\text{Sim, são ângulos adjacentes}}$$

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Exemplo 2

Dois ângulos adjacentes medem $35^\circ$ e $55^\circ$. Eles também são complementares?

Ver solução

Resolução

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é $90^\circ$.

Calculando:

$$35^\circ+55^\circ=90^\circ$$

Portanto, eles são complementares.

Como o enunciado também informa que são adjacentes, podemos dizer que são:

$$\boxed{\text{ângulos adjacentes e complementares}}$$

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Exemplo 3

Dois ângulos adjacentes medem $120^\circ$ e $60^\circ$. Qual é a relação entre eles?

Ver solução

Resolução

A soma é:

$$120^\circ+60^\circ=180^\circ$$

Portanto, eles são suplementares.

Como também são adjacentes, formam um par linear se os lados externos forem semirretas opostas.

Assim:

$$\boxed{\text{ângulos adjacentes e suplementares}}$$

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Exemplo 4

Dois ângulos possuem o mesmo vértice, mas não possuem nenhum lado em comum. Eles são necessariamente adjacentes?

Ver solução

Resolução

Não.

Para serem adjacentes, além de possuírem o mesmo vértice, eles precisam possuir um lado em comum.

Como essa condição não é satisfeita:

$$\boxed{\text{não são necessariamente adjacentes}}$$

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Exemplo 5

Dois ângulos adjacentes formam um ângulo raso. Um deles mede $68^\circ$. Determine a medida do outro.

Ver solução

Resolução

Como os dois ângulos formam um ângulo raso:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Sabemos que:

$$\alpha=68^\circ$$

Então:

$$68^\circ+\beta=180^\circ$$

Isolando $\beta$:

$$\beta=180^\circ-68^\circ$$$$\beta=112^\circ$$

🎯 Resultado

$$\boxed{\beta=112^\circ}$$

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🧠 Resumo

Dois ângulos são adjacentes quando:

• possuem o mesmo vértice;
• possuem um lado em comum;
• suas regiões internas não se sobrepõem.

A condição de adjacência está relacionada à posição dos ângulos.

Não confunda:

Complementares

$$\boxed{\alpha+\beta=90^\circ}$$

Suplementares

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

Par linear

São dois ângulos adjacentes cujos lados não comuns são semirretas opostas.

Nesse caso:

$$\boxed{\alpha+\beta=180^\circ}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Dois ângulos possuem o mesmo vértice, um lado em comum e interiores que não se sobrepõem. Como são classificados?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Qual é uma das condições necessárias para que dois ângulos sejam adjacentes?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Dois ângulos adjacentes medem $30^\circ$ e $60^\circ$. Eles são complementares?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Dois ângulos adjacentes medem $70^\circ$ e $110^\circ$. Qual é a relação entre eles?

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🧩 Exercício 5 Médio

Dois ângulos adjacentes formam um ângulo raso. Um deles mede $45^\circ$. Qual é a medida do outro?

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🧩 Exercício 6 Médio

Dois ângulos possuem o mesmo vértice, mas não possuem lado em comum. Podemos afirmar que são adjacentes?

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🧩 Exercício 7 Médio

Dois ângulos adjacentes medem $(2x+10)^\circ$ e $(3x+20)^\circ$ e formam um ângulo raso. Qual é o valor de $x$?

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🧩 Exercício 8 Médio

Dois ângulos adjacentes são complementares. Um deles mede $37^\circ$. Qual é a medida do outro?

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🧩 Exercício 9 Médio

Um par linear é formado por dois ângulos adjacentes. Qual é a soma de suas medidas?

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🧩 Exercício 10 Médio

Dois ângulos adjacentes formam um par linear. Um deles mede $127^\circ$. Qual é a medida do outro?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos os ângulos opostos pelo vértice, uma relação importante formada pelo cruzamento de duas retas.