Fatoração

🔧 Principais Técnicas de Fatoração

A fatoração consiste em transformar uma expressão em um produto de fatores.
Existem várias técnicas importantes:

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🔹 Fator comum em evidência

Colocamos em evidência o fator que aparece em todos os termos.

Exemplo:

$$2x + 4 = 2(x + 2)$$

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🔹 Agrupamento

Usado quando não há fator comum em todos os termos, mas é possível agrupar.

Exemplo:

$$x^2 + 3x + 2x + 6$$

Agrupando:

$$(x^2 + 3x) + (2x + 6)$$

Fatorando:

$$x(x + 3) + 2(x + 3)$$ $$(x + 3)(x + 2)$$

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🔹 Diferença de dois quadrados

Segue a forma:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Exemplo:

$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$

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🔹 Trinômio quadrado perfeito

Reconhece expressões do tipo:

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

ou

$$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$

Exemplo:

$$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$

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🔹 Fatoração de números (decomposição em primos)

Consiste em escrever um número como produto de números primos.

Exemplo:

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$$

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📌 Dica importante

Sempre tente fatorar na seguinte ordem:

1. Fator comum
2. Agrupamento
3. Produtos notáveis
4. Outros métodos

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TÉCNICAS ÚTEIS

Por vezes existem casos que expressão fornecida ou obtida parece não possuir todas os termos que precisamos para efetuar o agrupamento, ou mesmo a expressão remete a algum quadrado perfeito, mas há algo faltando. Nessas situações, completar retângulos ou quadrados pode ser a solução!

Exemplo: Fatore a seguinte expressão:

$$x^4+4y^4$$

Ver solução

A expressão apresenta dois termos que não podem ser colocados em evidência mas ela lembra termos de um quadrado perfeito. Dessa forma, vamos completar o quadrado:

$$x^4+4y^4 = x^4 + 2\cdot x²\cdot (2y)² + 4y^4 - 2\cdot x²\cdot (2y)²$$$$x^4+4y^4 = (x^4 + 4x²y² + 4y^4) - 4x²y² = (x²+2y²)² - 4x²y²$$

Veja que ao adicionar o termo $2\cdot x²\cdot (2y)²$ completamos o quadrado perfeito. Porém, para não alterar a expressão também devemos remover esse mesmo termo. Assim, encontramos a diferença de dois quadrados:

$$x^4+4y^4 = (x²+2y²)² - (2xy)² = (x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)$$

Logo:

$$x^4+4y^4 = (x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy)$$

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🚀 Próximo passo

Veja exercícios resolvidos:

➡️ Produtos notáveis e Fatoração

ou pratique:

➡️ Lista de Álgebra